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1、解读有理数的有关概念一、正数与负数:1.正数:像+1.8,+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数,前面加上“+”号,也可以省略不写。2.负数:像3、4754、50、0.6、15%等带有“”号的数叫做负数。而负数前面的“”号不能省略。3.零既不是正数也不是负数,它是正数与负数的分界点。注意:对于正数与负数,不能简单地理解为:带“+”号的数是正数,带“”号的数是负数。例如a不一定是负数,因为字母a代表任何一个有理数,当a是0时,a是0,当a是负数时,a是正数;能用正数与负数表示相反意义的量,习惯上把增加、盈利等规定为正,它们相反意义的量规定为负,正、负是相对而言有理
2、数。二、有理数及其分类:有理数:整数与分数统称为有理数。整数包括三类:正整数、零、负整数。分数包括两类:正分数和负分数。注意:小学学过的零表示没有,而引入负数后,就不能把“零”完全当作没有了,如0就是一个特定的温度;现在我们学过的数,除和与有关的数外,其他的数都是有理数;引入负数后,数的范围扩大为有理数,奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。按整数、分数的关系分类: 按正数、负数、零的关系分类: 三、数轴:1.数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。注意:数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;数轴有三要素:原点、正方向、单位长度三者缺一不可;原点的位置、正方向的取向、单位长度的大
3、小的选定,都是根据实际需要而定的。2.数轴的画法:画一条水平的直线;在直线的适当位置选取一点作为原点,并用0表示这点;确定向右为正方向,用箭头表示出来;选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次为1,2,3,;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次为1,2,3,。如图1所示。四、相反数:只有符号不同的两个数互为相反数。规定零的相反数是零。从数轴上看,表示互为相反数的两个数,分别位于原点的两侧,且与原点的距离相等,如图1,3与3互为相反数。注意:相反数是成对出现的,不能单独存在,如+2与2互为相反数,说明+2的相反数是2,2的相反数是+2,单独一个数不能说相反数;“只
4、有”的含义说明像+5与3这样的两个数不是互为相反数。五、绝对值:绝对值的几何定义:在数轴上,表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值,记作|a|。绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.注意:绝对值的求法:先判断这个数是正数、负数、还是零,再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号;绝对值的非负性:无论是绝对值的几何定义,还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质非负性。也就是说,任何一个有理数的绝对值都是非负数,即,。六、非负数若数a0,则称a为非负数。非负数的性质:任何非负数的和仍为非负数;如果几个非负数的和为0,则这几个非负数均为0。七
5、、倒数乘积为1的两个有理数互为倒数。倒数的求法:求一个数的倒数,直接可写成这个数分之一;求一个分数的倒数,只要将分子、分母颠倒即可;求一个带分数的倒数,应先将带分数化成假分数,再将分子、分母颠倒;求一个小数的倒数,应先将小数化成分数,然后再求倒数。只有零没有倒数,其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数,负数的倒数为负数。八、有理数大小的比较:1.利用数轴比较大小:数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。于是:正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数。2任意有理数大小的比较法则:正数都大于零,负数都小于零,正数大于 一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。比较两个负数大小的步骤是:首先分别求
6、出两个负数的绝对值;再比较两个绝对值的大小;最后根据“两个负数,绝对值大的反而小”作出正确判断。九、基本运算1、有理数的加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把其绝对值相加;异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得零;一个数与零相加,仍得这个数。2、有理数的减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数。3、有理数的乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把其绝对值相乘;任何数与零相乘,都得零;几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数的个数为奇数个时,积为负;当负因数的个数为偶数个时,积为正。4、有理数的除法法则:两
7、数相除,同号得正,异号得负,并把其绝对值相除;零除以任何一个不为零的数,都得零;除以一个数等于乘以这个数的倒数(零不能作除数)。十、乘方乘方的定义:求几个相同因数积的运算。乘方的结果叫做幂。在an中a叫做底数,n叫做指数。读作a的n次方,看作是a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂。根据乘方的意义转化为乘方,再根据乘法法则进行计算;根据乘方的性质,先判断幂的符号,再计算幂的绝对值。十一、有理数运算律加法的交换律 a+b=b+a;加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c;存在数0,使 0+a=a+0=a;对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;乘法的交换
8、律 ab=ba;乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;分配律 a(b+c)=ab+ac;存在乘法的单位元10,使得对任意有理数a,1a=a;对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。0a0 文字解释:一个数乘0还于0。十二、有理数的运算顺序先乘方、开方,后乘除,最后加减;有括号时,先算括号里面的;同级运算按从左至右的顺序进行,同时注意运算律的灵活应用。说明:加减是一级运算,乘除是二级运算,乘方、开方是三级运算。十三、近似数、有效数字与科学计数法近似数:一个与实际数比较接近的数,称为近似数。有效数字:对于一个近似数,从左边第一个不是0的数字开始,草最末一个数字止,都是这个近似数的有效数字。科学计数法:把一个数记作a10n形式(其中1 a 10,n为整数。)