传热学第三章非稳态热传导

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1、第三章 非稳态热传导,Transient Conduction,主要内容,第一节 非稳态导热的基本概念 第二节 零维问题的分析法集中参数法 第三节 典型一维物体非稳态导热的分析解 第四节 半无限大物体的非稳态导热,、重点内容： 非稳态导热的基本概念及特点； 集总参数法的基本原理及应用； 一维非稳态导热 2 、掌握内容： 确定瞬时温度场的方法； 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。 3 、了解内容： 无限大物体非稳态导热的基本特点。 二维非稳态导热问题。,3-1 非稳态导热的基本概念,1 非稳态导热的定义 物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。,2 非稳态导热的分类,周期性非稳态

2、导热：物体的温度随时间而作周期性的变化 例如太阳辐射的周期性变化引起的房屋的墙壁温度随时间的变化。,非周期性非稳态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值,一、非稳态导热的特点及类型,非周期性非稳态导热实例(汽轮机外壳),冷态启动前：tf1=tw1=tw2=tf2 进汽后 tf1 内壁 q1=h1(tf1-tw1) 到某一时刻 h1A1(tf1-tw1)=h2A2(tw2-tf2) 以后为稳态导热,3 温度分布：,问题描述： 一复合平壁，左侧为金属壁，右侧为保温层，层间接触良好，两种材料的导热系数、密度及比热容均为常数，初始温度为t。，复合壁左侧表面温度突然升高到t1，并保持不变，而右侧

3、仍与温度为t。的空气接触。,试分析: 金属壁及保温层中的温度变化过程,3 温度分布：,壁与保温层界面的温度也受到影响，如图中曲线PDI所示。随过程的进一步深入，保温层中温度也缓慢地上升，图中曲线PEJ、PFK及PGL所示。最后到达稳态时，金属壁与保温层中的温度分布各自为直线PH与HM。,金属壁及保温层中的温度变化过程：,首先金属壁中紧挨高温表面部分的温度很快上升，而其余部分则仍保持原来的温度t。，温度分布如图中曲线PBL所示。随着时间的推移，温度上升所波及的范围不断扩大，金属,4 两个不同的阶段,非正规状况阶段(右侧面不参与换热)：温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混

4、合分布，即：在此阶段物体温度分布受 to 分布的影响较大。图中曲线HBD，HCD。,正规状况阶段(右侧面参与换热)：当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受 to 影响，主要取决于边界条件及物性，此时，非稳态导热过程进入到正规状况阶段。图中曲线HE，HF，HG。,非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态。,非周期性非稳态导热导热过程的三个阶段,二类非稳态导热的区别：非周期性非稳态导热存在着有区别的两个不同阶段，而周期性非稳态导热后者不存在。,5 热量变化,1板左侧导入的热流量 2板右侧导出的热流量,非稳态导热过程中，不同位置处非稳态导热量不同。从板左侧导入的热流量1与从板右侧导出的

5、热流量2不相等，随着过程的进行，其差别逐渐减小，直到进入稳定状态阶段二者达到平衡。阴影线部分代表了复合壁在升温过程中所积聚的能量。,6 学习非稳态导热的目的： 非稳态导热要解决的问题 1. 不同时刻各点的温度分布， 热应力 2. 达到稳定后某时刻所需的时间， 淬火过程 3.传热量 应用较少,（2）非稳态导热的导热微分方程式：,（1）温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律,(3) 求解方法： 分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟,二、导热微分方程解的唯一性定理,导热微分方程式连同初始条件及边界

6、条件一起，完整地描写了一个特定的非稳态导热问题。非稳态导热问题的求解，实质上归结为在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式。,假定物体的热物理特性参数均为常数。三个坐标系中的导热微分方程可以用矢量的形式统一表示成为,式中div(gradt)是温度的拉普拉斯(Laplace)算子2t。在c为常数的条件下,上式可写成,数学上可以证明，如果某一个函数 t (x,y,z,) 满足导热微分方程及一定的初始和边界条件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。这一结论称为解的唯一性定律。,初始条件的一般形式是t(x,y,z,0)=f(x,y,z),经常遇到的简单特例是初始温度均匀，即t(x,y,z,0)

7、=t0,鉴于第三类边界条件比较常见，本章将着重讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件的非稳态导热，即：,三、第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响,在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。,已知：平板厚 、初温 、表面传热系数 h 、平板导热系数 ，将其突然置于温度为 的流体中冷却。,毕渥数（Biot准则） 定义： 特征尺度 厚度、半径，是指特征数定义式中的几何尺度。 物理意义： 内部导热热阻与表面对流热阻之比。 Bi 的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。,准则数（特征数）： 表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲数。,由于导热热阻与

8、对流传热热阻的相对大小的不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形：,（1）,导热热阻起决定作用，对流传热等待内部导热， 故 tw t , 实际成为第一类边界条件问题 这时，对流传热热阻1/h几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到t。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于 t 。,导热热阻极小，内部温度趋于一致 这时，由于导热热阻/几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于t 。,（2）,这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。,（3） /与 1/h 的数值比较接近,由此可见，上述两个热阻的相对大小对于物体中非稳

9、态导热的温度场的变化具有重要影响。为此，我们引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数：,3-2 集总参数法的简化分析,1.定义 一般 t=f(x,y,z, ) Bi 0 导热热阻极小，忽略物体内部导热热阻，内部温度趋于一致。 Bi =0 内部温度一致，这时t=f(x,y,z, ) 中的空间坐标不再起作用，与空间位置无关，好像该物体原来连续分布的质量和热容量汇总到一点上,而只有一个温度值那样,温度场变为t=f()，导热变成零维问题。 实际上，Bi不可能是零，但当Bi小到一定程度，就可以认为t=f()。 集总参数法：忽略物体内部导热热阻的简化分析方法。,2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均

10、为已知。,将其突然置于温度恒为 的流体中。,常物性、 Bi 0 、h=const. 求t=f(),3. 数学模型,零维问题无边界条件，可把界面上的传热作为源项来处理,当物体被冷却时（t t）,由能量守恒可知,方程式改写为：,，则有,初始条件,控制方程,积分 ,过余温度比,其中的指数：,是傅立叶数,物体中的温度呈指数分布,方程中指数的量纲：,即与 的量纲相同，当 时，则,此时，,上式表明：当传热时间等于 时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8。称 为时间常数，用 表示。,应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线,如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），那么单位时间所传递

11、的热量大、导热体的温度变化快，时间常数 ( Vc / hA) 小。,对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的（微细热电偶、薄膜热电阻）,工程上认为=4 Vc / hA时导热体已达到热平衡状态,4 瞬态热流量：,导热体在时间 0 内传给流体的总热量：,当物体被加热时(tt)，计算式相同,5 物理意义,无量纲热阻,无量纲时间,Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。,采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%,对厚为2的 无限大平板 对半径为R的无限长圆柱 对半径为R的 球,6 集总参数法的应用

12、条件,是与物体几何形状 有关的无量纲常数,例题3-1 一直径为5cm的钢球，初始温度为4500C，忽然被置于温度为300C的空气中。设钢球表面与周围环境间的传热系数为24W/(m2.K)，试计算钢球冷却到3000C所需的时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg.K), =7753kg/m3, =33W/(m.K)。,解：首先检验是否可用集总参数法。为此计算Bi数：,可以采用集总参数法。,由此解得：,例题3-2 一温度计的水银泡呈圆柱状,长20mm,内径为4mm,初始温度为t0,今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体温度.设水银泡同气体间的对流换热表面传热系数h=11.63W/(m2.K),水

13、银泡一层薄玻璃的作用可忽略不计,试计算此条件下温度计的时间常数,并确定插入5min后温度计读数的过余温度为初始温度的百分之几?水银的物性参数如下:,解:首先检验是否可用集总参数法.考虑到水银泡柱体的上端面不直接受热,故,可以用集总参数法,即经5min后温度计读数的过余温度是初始过余温度的13.3%.也就是说,在这段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%,例题3-3 一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为300C,将其放入炉温为12000C的加热炉中加热,升温到8000C方可取出.设钢圆柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),已知钢球的 c=0.4

14、8kJ/(kg.K), =7753kg/m3, =33W/(m.K),问需多少时间才能达到要求。,解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv,可以采用集总参数法.又,由此解得：,3-3 典型一维非稳态导热的分析解,一、无限大的平板的分析解,=const，a=const，h=const,有一块厚度是2的无限大平板，初始温度t0,瞬间放于温度为t的流体中，设平板两边对称受热。因两边对称，只研究半块平壁。,此半块平板的数学描写：,导热微分方程 初始条件 边界条件,(对称性),引入变量过余温度,令,上式化为：,用分离变量法可得其分析解为：,*,式中,是下列超越方程的根，称为特征值,n为下面超越方程

15、的根 为毕渥准则数，用符号 Bi 表示,因此 是F0, Bi 和 函数，即,二、 非稳态导热的正规状况阶段分析解的简化,现在从分析解的数学表达式来揭示正规状况阶段的数学含义。解的特征值n都是Bi数的函数，在一定的Bi数下n之值随Bi的增加而迅速增加。例如，对平板，在Bi1.0时前4个根分别为0.8603、3.4256、6.4373、9.5293。由分析解中反映时间影响的部分exp(-2nFo可见，无穷级数第一项以后的各项，会随着Fo数的增加而迅速衰减。数值计算表明，当Fo数大于0.2以后，略去无穷级数中第二项及以后各项所得的计其结果与按完整级数计算结果的偏差小于1。这相当于将无穷级数解中的系数

16、Cn(Cn2)取为零。因为Cn的无穷系列值是为了使分析解满足初始条件而引入的，这样的处理就意味着初始条件的影响已经消失，所以分析解无穷级数的第一项就是正规状况阶段温度场的解。,1.非稳态导热正规状况阶段的物理概念与数学含义,1非稳态导热正规状况阶段的物理概念与数学含义,对于非周期性的非稳态导热过程，从过程的开始到温度分布趋近于稳态分布的时间间隔中，初始条件影响基本消失的阶段占了极大部分的比例，故称这一阶段为“正规状况”。 非周期性的非稳态导热过程在进行到一定深度后，初始条件对物体中无量纲温度分布的影响基本消失，温度分布主要取决于边界条件的影响。非稳态导热的这一阶段称为正规状况阶段。,2. 非稳态导热的正规状况阶段分析解的简化,对无限大平板 当 取级数的首项，板中心温度， 误差小于1%,与时间无关,正规状