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1、第十章 微分方程与差分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 一阶微分方程及其解法,第三节 一阶微分方程在经济中的应用,第四节 可降阶的高阶微分方程,第五节 二阶常系数线性微分方程,第六节 一阶差分方程,第七节 一阶差分方程的简单经济应用,第三节,一阶微分方程在经济中的应用,解 由条件可建立如下的数学模型：,（C为任意常数）,即,分离变量并求解此微分方程，得,例1 设某商品的需求量Q对价格P的弹性为 ，若该商品 的最大需求量为N试建立需求量Q与价格N的数学模型；并求出 需求量Q与价格P的函数关系；求当 时， 市场对该商品的需求量；当价格无限增加时，需求量的变化趋势 如何？,所以,当 时，,显
2、然当 时， ，即随着价格的无限增大，需求量将趋于零,由 得,例2 以 表示 时刻的人口总数， 表示 时刻的,时刻的人口的增长率 称 时刻的人口增长率 与,时刻的人口个体总数之比 为相对增长率 设,时刻的人口出生率为 ，死亡率为 ,（1）试建立人口总数与人口的增长率的数学模型,（2）在一定环境下，当人口数量少时，资源相对丰富，出 生率增加，死亡率减少；当人口数量增大时，资源相对匮乏， 生存环境变差，出生率减少而死亡率增加,现假设出生率 及死亡率 都是人口总数的线性函数， 给出人口总数 的函数表达式并研究随着时间的增长人口 总数的变化趋势,解 （1）由条件可建立如下的数学模型：,于是，,记 ，这里 ，,（10.25）,于是有,这是一个可分离变量的微分方程 分离变量，得,两边积分，得,故方程（10.25）的通解为,（10.26）,将初始条件 代入方程（10.26）可解得,（10.27）,由方程（10.27）知，,注：习惯上把,当 时， ，即人口总数随着时间的增长 而趋于稳定 成为种群在一定环境下的平衡态，称 方程（10.25）为自然生长方程，它的解（10.27）所对应的 曲线呈 型，称为logistic曲线,称为Logistic方程，该方程的解曲线,称为Logistic曲线在经济学、生物学等中常遇到这样的变化规律,
