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1、第四章 投 影 变 换,第一节 换 面 法 第二节 旋 转 法,第一节 换 面 法,一、换面法的基本概念 二、点的换面规律 三、换面法中六个基本问题 四、换面法应用举例,一、换面法的基本概念,1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利于解题的特殊位置。 2) 新投影面必须垂直于一个不变的投影面。,一、换面法的基本概念,图4-1 V/H体系变为/H体系,二、点的换面规律,1.点的一次变换 2.点的二次变换,1.点的一次变换,1) 在新投影面体系中，不变投影a和新投影a的连线垂直于新投影轴x1，即aax1轴。 2) 新投影a到新投影轴x1的距离，等于原来(即被代替的)投影a到原来(即被代替的)投影轴
2、x的距离。 1) 作新投影轴x1，表示以V1面代替V面形成V1/H体系(x1轴与a点的距离以及x1轴的倾斜位置与V1面对空间几何元素的相对位置有关，可根据作图需要确定)。 2) 过a点作新投影轴x1的垂线，得交点ax1。 3) 在垂线aax1上截取aax1aax，即得A点在V1面上的新投影a。 1) b1bx1轴。 2) b1bx1bbxBb。 1) 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 2) 点的新投影到新投影轴的距离等于被更换的旧投影到旧投影轴的距离。,1.点的一次变换,图4-2 点在/H体系中的投影,图4-3 点在面上的新投影作法,1.点的一次变换,图4-4 点在V/体系的投影
3、,1.点的一次变换,图4-5 点在面上的新投影作法,1.点的一次变换,2.点的二次变换,4Z6.TIF,2.点的二次变换,4Z7.TIF,三、换面法中六个基本问题,1.把一般位置直线变换成投影面平行线 2.把投影面平行线变换成投影面垂直线 3.把一般位置直线变换成投影面垂直线 4.把一般位置平面变换成投影面垂直面 5.把投影面垂直面变换成投影面平行面 6.把一般位置平面变换成投影面平行面,1.把一般位置直线变换成投影面平行线,1) 作新投影轴x1ab。 2) 分别由a、b两点作x1轴的垂线，与x1轴交于ax1、bx1，然后在垂线上量取aax1 3) 连接a、b得到投影ab，它反映直线AB的实长
4、，它与x1轴的夹角反映直线AB对H面的倾角。,1.把一般位置直线变换成投影面平行线,4Z8.TIF,1.把一般位置直线变换成投影面平行线,4Z9.TIF,2.把投影面平行线变换成投影面垂直线,4Z10.TIF,2.把投影面平行线变换成投影面垂直线,4Z11.TIF,3.把一般位置直线变换成投影面垂直线,1) 先作x1轴cd，求得CD在V1面上的新投影cd。 2) 再作x2轴cd，得出CD在H2面上的投影c2d2，这时c2与d2积聚为一点。,3.把一般位置直线变换成投影面垂直线,图4-12 一般位置直线变换成投影 面垂直线,4.把一般位置平面变换成投影面垂直面,1) 在ABC上作水平线CD，其投
5、影为cd和cd。 2) 作x1轴cd。 3) 作ABC在V1面上的投影abc，而abc积聚为一直线，它与x1轴的夹角即反映ABC对H面的倾角，具体作图方法如图4-14所示。,4.把一般位置平面变换成投影面垂直面,图4-13 一般位置平面变换成投影面垂直面,图4-14 一般位置平面变换成投影面垂直面 的作图方法(求),4.把一般位置平面变换成投影面垂直面,5.把投影面垂直面变换成投影面平行面,4Z15.TIF,5.把投影面垂直面变换成投影面平行面,4Z16.TIF,6.把一般位置平面变换成投影面平行面,1) 在ABC上取正平线AE，作新投影面H1AE，即作x1轴然后作出ABC在H1面上的新投影a
6、1b1c1，它积聚成一直线。 2) 作新投影面V2平行ABC，即作x2轴a1b1c1，然后作出ABC在V2面上的新投影abc。,6.把一般位置平面变换成投影面平行面,图4-17 一般位置平面变换成投影面 平行面的作图方法,四、换面法应用举例,例4-1 求点C到直线AB的距离(见图4-19)。 1) 先把直线AB变换成H1面的平行线,点C在H1面上的投影为c1。 2) 再把直线AB变换成V2面的垂直线，AB在V2面上的投影积聚为a(b)，点C在V2面上的投影为c。 3) 过c1作c1k1a1b1(即c1k1x2轴)得k1，k与ab重影，连接c、k，ck即反映点C到直线AB的距离。 4) 根据ck
7、和c1k1，返回在V/H体系中求得ck和ck。 1) 把直线AB经过两次变换成为新投影面的垂直线，其在H2面上的投影积聚为a2(b2)。 2) 从a2(b2)作m2k2c2d2，m2k2即为公垂线MK在H2面上的投影，它反映AB、CD间的距离实长。 3) 由k2求出k，过k作kmx2轴。 4) 由km求出k1m1与km。,四、换面法应用举例,1) 把平面ABC经过一次变换成投影面垂直面abc。 2) 过k作x1轴的垂线并与abc相距为KD实长的平行直线交于k，过k作abc垂线交d，即kd=KD。 3) 由kd返回到原投影体系中，则求得KD的两投影(kdx1轴)。 1) 把平面ABCD与ABFE
8、的交线AB经两次变换为对V2面的垂直线。 2) 平面ABCD和ABFE在V2面上的投影分别积聚为直线段(a)bcd和(a)bf e。 3) eac即反映变形接头两侧面间的夹角。,例4-1 求点C到直线AB的距离(见图4-19)。,图4-18 在投影图中反映点线面之间的真实距离和夹角 a) 两点间的距离 b) 点与直线的距离 c) 两交叉直线的距离 d) 点与平面的距离 e) 两相交直线的夹角 f) 直线与平面的夹角 g) 两相交平面的夹角,四、换面法应用举例,例4-2 求两交叉直线AB和CD的距离，并定出它们公垂线的位置(见图4-21)。,图4-19 求点到直线的距离,四、换面法应用举例,图4
9、-20 求点到直线距离的作图方法,四、换面法应用举例,例4-3 已知K点到ABC平面的距离KD及K点的一个投影，求垂线KD的两投影(见图4-23)。,1) 把平面ABC经过一次变换成投影面垂直面abc。,2) 过k作x1轴的垂线并与abc相距为KD实长的平行直线交于k，过k作abc垂线交d，即kd=KD。,3) 由kd返回到原投影体系中，则求得KD的两投影(kdx1轴)。,四、换面法应用举例,4Z21.TIF,四、换面法应用举例,4Z22.TIF,四、换面法应用举例,例4-4 求变形接头两侧面ABCD和ABFE之间的夹角(见图4-24)。,1) 把平面ABCD与ABFE的交线AB经两次变换为对
10、V2面的垂直线。,2) 平面ABCD和ABFE在V2面上的投影分别积聚为直线段(a)bcd和(a)bf e。,3) eac即反映变形接头两侧面间的夹角。,四、换面法应用举例,图4-23 根据实长求点到平面垂线的投影 a) 已知条件 b) 作图过程及结果,四、换面法应用举例,图4-24 求变形接头两侧面间的夹角,四、换面法应用举例,图4-25 求变形接头两侧面间夹角的作图方法,四、换面法应用举例,第二节 旋 转 法,一、旋转法的基本规律 二、旋转法中的六个基本问题 三、旋转法应用举例,一、旋转法的基本规律,图4-26 点绕垂直H面的轴旋转,一、旋转法的基本规律,图4-27 点绕垂直V面 的轴旋转
11、,一、旋转法的基本规律,图4-28 直线的旋转,二、旋转法中的六个基本问题,1.把一般位置直线旋转成投影面平行线 2.把投影面平行线旋转成投影面垂直线 3.把一般位置直线旋转成投影面垂直线 4.把一般位置平面旋转成投影面垂直面 5.把投影面垂直面旋转成投影面平行面 6.把一般位置平面旋转成投影面平行面,1.把一般位置直线旋转成投影面平行线,1) 过B(b、b)作OO轴垂直H面。 2) 以o为圆心，oa为半径画圆弧(顺时针或逆时针方向都可以)。 3) 由b作x轴的平行线与圆弧相交于a1，得a1b。 4) 从a1引投影连线，与从a引出的x轴平行线相交，求出交点a，连线ab即反映直线AB的实长，ab
12、与x轴的夹角反映AB对H面的倾角。,图4-29 一般位置直线旋转 成投影面平行线,1.把一般位置直线旋转成投影面平行线,2.把投影面平行线旋转成投影面垂直线,4Z30.TIF,3.把一般位置直线旋转成投影面垂直线,4Z31.TIF,4.把一般位置平面旋转成投影面垂直面,4Z32.TIF,5.把投影面垂直面旋转成投影面平行面,4Z33.TIF,6.把一般位置平面旋转成投影面平行面,图4-34 一般位置平面旋转成投影面平行面,三、旋转法应用举例,例4-5 已知直线AB的水平投影ab及点A的正面投影a，直线与H面的倾角为30(见图4-35a)，用旋转法求出直线AB的正面投影ab。 1) 过A点作垂直
13、H面的旋转轴OO，把ab旋转至平行x轴的位置ab1。 2) 从b1向上引投影连线，再从a作30斜线与之相交得b。 3) 返回求出b，连接a、b即得所求直线的正面投影ab。 1) 过B点作垂直V面的旋转轴OO，把abc旋转至abc，使bcx轴。 2) 作出水平投影bc1，然后作bc1的中垂线d1a1。 3) 再返回作出a点，连接之，即得水平投影abc。,例4-6 ABC为等腰三角形，BC为底边。已知正面投影abc及水平投影bc(见图4-36a)，用旋转法作出其水平投影abc。,1) 过B点作垂直V面的旋转轴OO，把abc旋转至abc，使bcx轴。,2) 作出水平投影bc1，然后作bc1的中垂线d1a1。,3) 再返回作出a点，连接之，即得水平投影abc。,三、旋转法应用举例,4Z35.TIF,三、旋转法应用举例,4Z36.TIF,三、旋转法应用举例,
