《9.第九章重积分03第九章第3节三重积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《9.第九章重积分03第九章第3节三重积分（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,一、 三重积分的概念,二、三重积分的计算,三、小结及作业,2,一、 三重积分的概念,采用,引例：设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀 的物质，,密度函数为,求分布在 内的物质的质量 M .,可得,“分割，近似，求和，取极限”,3,定义: 设,存在 ,称为体积元素,若对 作任意分割,及任意取点 , 下列“乘积和式”的极限,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下也常写作,4,性质,中值定理: 设 在有界闭域 上连续,使得,其中V为 的体积.,三重积分的性质与二重积分相似 , 例如,计算方法,则存在,一点,5,1、直角坐标系中将三重积分化为三次积分,二、三重积分的计算,如图，,在直
2、角坐标系下,6,化三重积分为三次积分,7,其中为三个坐标面及平面,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,8,解,9,10,解,如图，,11,12,13,解,14,原式,15,解,如图,16,17,3、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,18,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,19,如图，柱面坐标系中的体积元素为,20,其中为由柱面,例1. 计算三重积分,所围成半圆柱体.,解: 在柱面坐标系下,及平面,21,例2. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,22,解,知交线为,23,24,解,所围成的立体如图，,25,所围成立体的投影区域如图，,26
3、,27,28,4、利用球面坐标计算三重积分,29,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,30,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,31,球面坐标系中的体积元素为,如图，,32,例1. 计算三重积分,其中为,解: 在球面坐标系下,所围立体.,锥面,与球面,33,34,35,36,解,37,38,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,三、小结,39,（1） 柱面坐标的体积元素,（2） 球面坐标的体积元素,（3） 对称性简化运算,三重积分换元法,柱面坐标,球面坐标,三、小结,40,41,思考题,42,练 习 题,43,44,45,46,练习题答案,47,48,49,思考题,选择题:,50,51,练 习 题,52,53,54,练习题答案,55,
