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1、第一节 引言 第二节 变形能的计算 第三节 莫尔定理 第四节 计算莫尔积分的图形互乘法 第五节 卡式定理 第六节 功的互等定理和位移互等定理 习题,退出,第一章 能量法,下一页,上一页,第一节 引言,弹性体在外力作用下要发生变形，从而引起外力作用点产生位移，外力因此将沿其作用线方向上的位移做功。在变形过程中外力沿其作用线方向所做的功称为外力功。与此同时，在加载过程中，若外力从零开始缓慢地增加到最终值时，由于变形而储存于该弹性体内部的能量，称为变形能。,返回首页,下一页,上一页,返回目录,若作用在弹性体上的外力为静载荷(外力从零开始缓慢地增加到最终值)，则在变形过程中除变形能外，动能及其他能量的
2、变化很小，均可忽略不计，从而可以认为全部外力功W，都转变为了弹性体的变形能U，即 (1-1) 通常将式(1-1)称为功能原理。利用功、能概念，建立有关分析结构及杆件的位移、变形和内力等问题的方法，统称为能量法。,返回首页,下一页,上一页,返回首页,下一页,上一页,(1)轴向拉伸或压缩时变形能的计算,1杆件基本变形时变形能的计算,第二节 变形能的计算,根据功能原理U=W，可知轴向拉伸时的变形能为 (1-2),式(1-2)可改写为 由式(1-3)可知，轴向拉伸杆件的变形能是内力或变形量的二次函数。 ,(1-3),若外力比较复杂，沿杆件轴线的轴力为变量 时，可先计算杆长为 的微段内的变形能,(1-4
3、),若结构是由 根直杆组成的桁架，则整个结构内的变形能应为,(1-5),(2)圆轴扭转时变形能的计算,若圆轴各横截面上的扭矩T=Te，而且转角 。根据功能原理，圆轴扭转时的变形能为 当扭矩沿轴线为变量T(x)时，仍可先计算微段轴 的变形能，然后对整个轴积分，即得整个轴扭转时的变形能为,(1-6),(1-7),(3)梁弯曲时的变形能计算,1)纯弯曲时的变形能计算,若梁在纯弯曲时各横截面上的弯矩 、转角 ，根据功能原理，则得纯弯曲时梁的变形能为,(1-8),2)横力弯曲时的变形能计算,全梁的弯曲变形能为,(1-9),返回首页,下一页,上一页,2组合变形时变形能的计算,如果略去剪力HJ所做的功，根据
4、功能原理则得到整个杆件的变形能为,(1-10),3变形能的普遍表达式,当弹性体上作用有n个外力F1,F2,Fn时，则弹性体的变形能为 式(1-11)表明，线弹性体的变形能等于作用在该结构上的诸外力与相应位移乘积一半的和。式(1-11)中的Fi和i应是最终状态的载荷和位移，该式只适用于线弹性系统。,返回首页,下一页,上一页,(1-11),例1-1 简支梁受一集中载荷F作用，如图1-6所示。试求此梁内的变形能，并求C点的挠度。,解 1) 求梁的变形能。 2）求C点的挠度。,4变形能的性质,(1)变形能恒为正值。 (2)由于变形能是内力的二次函数，所以对于那些不能相互独立做功的载荷，变形能的计算绝不
5、能用叠加法。只有在各个外力做功相互独立且互不影响时，变形能才可以叠加，上面的组合变形杆件的变形能的计算即属此类情况。 (3)变形能的大小只与外力和位移的最终值有关，而与加载的中间过程或加载先后次序无关。,例1-2 试分别计算图1-7所示各个梁的变形能。,解 1)求梁在集中力F单独作用时的变形能(图1-7a)。 2)求梁在力偶Me单独作用时的变形能(图1-7b)。 3)求梁在集中力F和力偶e共同作用时的变形能(图1-7c)。,设简支梁在静载荷F1，F2，Fn(广义力)作用下发生弯曲变形，如图1-8a所示。,第三节 莫尔定理,2. 外力功的计算,1.变形能的计算,3. 推导出莫尔定理,(1-12)
6、,式(1-12)即为莫尔定理的表达式，又称为莫尔积分。,4. 注意事项,(1)必须考虑两个系统，第一个系统是由杆件承受实际载荷所组成，称为载荷系统；第二个系统是在除掉实际载荷的原杆件上施加一个与所求位移相对应的单位载荷所组成，称为单位载荷系统。 (2)欲求的位移和施加的单位载荷分别理解为广义位移和相应的广义力。在所求位移处沿位移方向施加一个与位移相对应的单位载荷。例如，为线位移，则单位载荷为施加于该点沿所求方向的单位力；若为角位移，则单位载荷为施加于所在截面处的单位力偶；若为两点间的相对线位移，则单位载荷是施加在两点上的方向相反的一对单位力；其作用线与两点的连线重合。 所施加的单位载荷的指向可
7、以任意假定。求得的位移若是正值，则表示所求位移与所加单位载荷的方向相同；结果为负值，则所求位移与所加单位载荷的方向相反。 (3)计算时，由单位载荷和实际载荷分别引起的内力应采用相同正负号表示。在分段列内力方程式时，载荷系统和单位载荷系统对所选取的坐标必须完全一致。,例1-3 图1-9a所示桁架，在节点WTBXC处受集中力F作用，试求节点C处的水平位移CH。设各杆拉伸(压缩)刚度EA相同。,解 1)由外载荷(图1-9a)，利用节点法(图1-9b、c、d)可求得各杆轴力 2)在C点加一水平单位力(图1-9e)，然后用节点法求得各杆的轴力 3)计算CH。,例1-4 试求图1-10a所示梁A点的挠度和
8、B截面转角。,解 1)列M(x)与M0(x)方程。分别在A点和B截面施加一单位力和单位力偶，如图1-10b、c所示。 2)求 和 。,例1-5 如图1-11所示一等截面刚架，在AC段上作用有均布载荷q。其弯曲刚度EI为常量，试求B处的水平位移 及D截面转角 。,解 1)列刚架在载荷作用下(图1-11a)各段弯矩方程。 2)求B处的水平位移。 3)求D截面转角。,例1-6 利用莫尔定理求图1-12a所示曲杆A截面的水平位移、铅垂位移及转角。,解 1)载荷F引起曲杆横截面上的弯矩 2)A点作用铅垂单位力(图1-12b)引起曲杆横截面上的弯矩 3)计算A截面处的铅垂位移 4)计算A截面的水平位移 5
9、)计算A截面的转角,例1-7 图1-13a是活塞环的示意图。试计算在力F作用下切口的张开量。,解 1）列载荷F引起活塞环横截面上的弯矩方程 2）列单位载荷引起活塞环横截面上的弯矩方程 3）切口的张开量,第三节 莫尔定理,(1-12),这就是图形互乘法或简称图乘法,应用图形互乘法计算位移时要注意以下几点：,(1)要满足图形互乘法的条件。必须是等截面直杆，两图形中至少有一个是直线图形，而且不允许出现折点(即角不变)，纵坐标M应取自直线图形。若两个都是直线图形，则纵坐标可取自其中任一图形，其结果不变，如图1-15所示。 (2)注意符号。面积w与纵坐标M在同一侧时，乘积wM0C应取正号；面积w与纵坐标
10、M0在两侧时，乘积wM0C应取负号。 (3)若M0(x)图为折线(n段直线组成)或其抗弯刚度变化，需分段(自折点或抗弯刚度变化处)与M(x)图面积进行互乘。同时应当力求使每段M（x）图图形面积便于计算。然后将各段互乘结果叠加，即. (4)当梁上载荷比较复杂时，为便于计算M(x)图的面积，可将其分解为几个简单载荷作用，分别画出弯矩图，同时分别与M0(x)图互乘，然后叠加起来。 (5)图形互乘法也适用于等截面直杆的轴向拉压、圆轴扭转.,例1-8 试求图1-18a所示变截面梁A截面的转角和B截面的挠度，其中梁各段弯曲刚度EI已知。,解 1)计算A截面的转角。 画出载荷作用下的弯矩图(图1-18b)。
11、A截面作用一单位力偶，并作其弯矩图(图1-18c、d)。 计算载荷弯矩图的面积和单位载荷弯矩图的纵坐标。 计算WTBXA截面的转角 2)求B截面的挠度。 在B截面加单位力，并作其弯矩图(图1-18e、f)。 计算载荷弯矩图的面积和单位载荷弯矩图的纵坐标 计算B截面的挠度,第五节 卡氏定理,如图1-21所示为一简支梁，跨度中点C受集中力F的作用，试求点C的铅垂位移。,推导卡氏定理,式(1-14)称为卡氏第二定理，简称卡氏定理。,(1-14),例1-11 图1-23所示悬臂梁自由端A处作用有F和M0，弯曲刚度EI为常量。求自由端的挠度和转角(不计剪力对位移的影响)。,解 1)列出梁的弯矩方程，并对
12、F，M0分别求偏导数。 2)根据卡氏定理求A点的挠度。 3)根据卡氏定理求A截面的转角。,例1-12 图1-24所示一构架，在节点C处有铅垂方向的集中力F作用，已知两杆的抗拉、压刚度E相等。试求节点C处的铅垂位移和水平位移。,解 1)求各杆的轴力，并对F求偏导数。 2)根据卡氏定理求节点C的铅垂位移。 3)根据卡氏定理求节点C水平方向的位移。,例1-13 刚架所受载荷如图1-25a所示，各杆的弯曲刚度EI相同。试求A截面的水平位移和铅垂位移(不计轴力和剪力对位移的影响)。,解 1)求A截面的铅垂位移。 分别列弯矩方程并对FA求偏导数 根据卡氏定理求A截面的铅垂位移 2)求A截面的水平位移。因为
13、A截面处没有水平外力作用，必须附加一个相应的水平集中力F，如图1-25c所示。应用卡氏定理后，令其等于零，即可得到A截面的水平位移。 分别列弯矩方程并对F求偏导数 根据卡氏定理求A截面的水平位移,例1-14 图1-26a所示轴线为四分之一圆周的平面曲杆，A端固定，B段自由，在B端受一铅垂的集中力F作用，设曲杆的EI为常量。试求自由端B截面的铅垂位移和水平位移(只考虑弯矩对位移的作用)。,解 1)求B点的铅垂位移。 2)求B点的水平位移。,例1-15 求图1-27a所示水平刚架C点的铅垂位移。已知刚架弯曲刚度为EI，扭转刚度为GIp，F力沿铅垂向下作用于C点。,解 这是弯扭组合变形的位移计算问题，CB杆受弯曲变形，BA杆受弯曲和扭转组合变形。 1)内力计算，并对力F求偏导数。 2)利用卡氏定理求C点的铅垂位移。,第六节 功的互等定理和位移互等定理,1功的互等定理,上式表明：对于线弹性结构，F1力在由于F2力引起的位移12上所做的功，等于F2力在由于F1力引起的位移21上所做的功。这就是功的互等定理。,(1-15),2位移互等定理,在特殊情况下，当F1=F2时，由式(1-15)功的互等定理得 上式表明：作用在点1处的力F在点2处所引起的位移 ，等于作用在点2处的相同一个力F在点1处所引起的位移 。这一规律称为位移互等定理。,
