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1、2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，
2、在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：太阳影子定位摘要本文研究了太阳影子定位问题，基于天球坐标
3、系相关知识、球面几何理论以及相似度理论，对不同情况下的数据，建立了相应的数学模型并得到了最优的匹配地点与日期。问题1中，利用球面三角形余弦定理给出了太阳高度角公式，并建立了影子长度变化的数学模型，定性的分析了影子长度关于时角、当地纬度以及赤纬角的变化规律：(1). 时角的绝对值越大，影子长度越大；(2). 在同一经度上（即时角一定），当地纬度与此时的太阳赤纬之差越大，影子长度越大；(3). 在同一纬度不同经度上，当地经度和此时太阳直射点所在的经度之差越大，影子长度越大。用所建的模型，得到了2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。问题
4、2中，由太阳高度角、方位角、时角、赤纬角之间的关系，建立了杆的高度、太阳高度角、太阳方位角等变量间的方程组，推导出影子的长度与太阳高度角满足的方程，该方程不依赖于杆的高度、坐标系的选取。利用附件1的数据并结合遍历相关知识，给出了最优匹配地点：最优地点为北纬24度，东经100度，（云南省沧市临翔区）；次优地点为北纬18度，东经110度（海南省三亚市）。问题3中，在问题2模型的基础上，对未知日期引入了日期参数，导出了相应的优化模型。由附件2的数据得出了最优匹配日期和地点：7月10日，北纬41度，东经80度，新疆维吾尔自治区阿克苏地区乌什县。由附件3的数据得出了最优匹配日期和地点：3月02日，北纬3
5、7度，东经110度，陕西省延安市延川县。问题4中，给出了杆的高度的近似值，我们修正了问题3中的模型，在优化模型中，引入了变量。对视频进行逐针读取，再灰度化处理，利用Photoshop软件得到了影子坐标的和杆的坐标的像素，由它们之间的比例关系，得出了相应的坐标。利用坐标数据和杆的近似高度，通过优化模型，经过Matlab遍历，得到了最优的拍摄地点：最优的为北纬40度，东经113度，山西省大同市南郊区；其它次优的为北纬44度，东经110度，蒙古；北纬39度，东经110度 ，陕西省榆林市神木县；北纬39度，东经111度，陕西省榆林市府谷县；北纬39度， 东经112度，山西省忻州市神池县；北纬40度，东
6、经114度，河北省张家口市阳原县；北纬41度，东经115度，河北省张家口市崇礼县。如果拍摄日期未知，最优的拍摄地点为北纬40，东经115，河北省张家口市蔚县，日期为6月22日。 同时，我们也提出了分光理论，并建立了相应的模型和数学推导。由于时间的限制，不能完善该模型。针对问题二、三、四，提出了影子弧线的相似度模型。由于提取数据的误差，可能使得我们的计算结果与实际地点有稍许偏差。关键字:太阳影子定位，天球坐标系，遍历，时角，赤纬角，太阳高度角，太阳方位角 1. 问题重述 太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。 1.1问题一有两部分组成： （1）
7、：确定影子长度变化数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律。（2）：用已建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 1.2问题二有两部分组成： （1）：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。 （2）：将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 1.3问题三有两部分组成：（1）：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。（2）：将所建的模型分别应用于附件2和附件
8、3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。1.4问题有三部分组成：（1）：根据附件4一根直杆在太阳下的影子变化视频，建立确定视频拍摄地点的数学模型。（2）：应用已建立的模型给出若干个可能的拍摄地点。（3）：如果拍摄日期未知，根据视频确定出拍摄地点与日期。2. 模型假设（1）：地球是球体；（2）：直杆影子长度为直线段长度而非弧长；（3）：到达地球的太阳光线为平行光线；（4）：太阳高度角为太阳光的入射方向与入射点切平面（地平面）的夹角；（5）：假设地面无障碍物，直杆影子都投影在一个平面上；（6）：假设附件4中拍摄角度对所提取的影长无影响；（7）：假设一天当中太阳赤纬角不变；3. 符号说明表
9、3.1符号说明表直杆长度直杆影子长度太阳高度角当地太阳时时角赤纬角光线与直杆的夹角当地维度当地经度注：规定北纬为正，南纬为负4. 模型建立及求解4.1问题一的分析影子的长度主要依赖于两个因素，即直杆的长度和当地的太阳高度角。由推导可得，太阳高度角又依赖于当时的太阳赤纬，时角和当地的纬度。易知当地的纬度和时角；又可知赤纬角由日期确定，注意我们假设一天当中的赤纬角是不变的。 4.1.1问题一模型的建立及求解直杆高度、太阳高度角及影子长度三者有如下关系： (4.1)其中，为影子长度，为直杆高度，为太阳高度角，其关系如图4.1所示。图4.1 直杆高度、太阳高度角及影子长度关系示意图 在天文三角形中，已
10、知两边：测者余纬，天体极距它们的夹角，即天体半圆时角，应用边的余弦公式可以求得第三边：天顶距,如图4.2所示。图4.2 天球坐标系中的相关参数应用球面三角形边的余弦定理,有 , (4.2)又,，所以 . (4.3)即有. (4.4)带入(4.1)式，可得. (4.4)其中，时角的计算公式为： , (4.5)太阳赤纬角（即太阳直射点的维度）： (4.6)其中为日期序号，例如，1月1日为，2月25日为。下面我们将定性分析影子长度关于各个参数（时角、纬度及赤纬角）的变化规律。首先，分析在一天之中时角对影子长度的影响。由假设可知赤纬角在一天之中是恒定的，又可知，太阳高度角越大，影子长度越小；又由式(4
11、.4)可得，时角的绝对值越大，越小。所以可知，越大，影子长度越大。其次，分析纬度对影子长度的影响。我们在同一经度上（即时角定）考虑此问题，当地纬度与此时的太阳赤纬之差越大，影子长度越大。最后，分析赤纬角对影子长度的影响。我们在同一纬度不同经度上考虑此问题，当地经度和此时太阳直射点所在的经度之差越大，影子长度越大。应用我们所建立的模型(4.4)，基于Matlab plot函数给出9:0015:00的影子长度，见图(4.3)。其中整点时刻的影子长度见表4.1.表4.1 9:0015:00间整点时刻直杆影子的长度北京时间9101112131415影长(米)7.81055.36524.26753.85
12、853.98434.68746.2862图4.3 9:0015:00天安门广场直杆影子长度的变化曲线4.2问题二的分析首先建立一个坐标系（标准坐标系），附件数据所在的坐标系为旧坐标系，标准坐标系与旧坐标系之间有一个旋转角。通过推导发现，影子长度与相应时刻太阳高度角的余切之比为定值，故可以直接利用旧坐标系下的影长数据，而避开了未知杆长、旋转角及标准坐标系下的坐标分量，从而简化了问题的复杂度和求解难度。4.2.1问题二模型的建立及求解设为时刻的太阳高度角，为时刻太阳方位角(太阳方位角为正北方向按顺时针旋转到太阳投影点所旋转的角度) ,为时刻影子长度，为旧坐标系下的杆顶点投影的坐标（旧坐标系为附件中数据所在的坐标系），建立标准坐标系，以杆低端为原点，轴朝向正南，轴朝向正东。为标准坐标系下杆顶点投影的坐标。在标准坐标系下，有 (4.7)所以 (4.8)又为时刻太阳方位角，则为旧坐标系和标准坐标系之间的旋转角度，故 (4.9)即 (4.10)也就是直杆影子顶点横纵坐标的比值与杆子的高度无关，仅仅与太阳的方位角有关。因为 (4.11)所以 (4.12)由上面分析可知，新旧坐标系下的坐标，杆的高度，太阳高度角，太阳方位角，满足如下方程组： (
