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1、第四章 正弦稳态电路分析导言在工业生产和日常生活中所用的交流电，一般都是正弦交流电。因此，正弦交流电在电路基础教学中占用重要位置。正弦稳态电路是指电路中激励信号源与各支路的电压、电流为同频率正弦量的电路，正弦稳态分析就是研究这类电路的分析方法。本章限于讨论由线性及非时变元件组成的线性电路。本章前几节从正弦电压、电流的瞬时表示形式引出稳态电路中电压、电流的相量表示方法，然后引入阻抗和导纳的概念，建立电路的相量模型。这些基本概念和表示方法，为后几节讨论的几种典型电路的分析方法、功率的计算方法，以及三相电路、互感电路和理想变压器的分析奠定了基础。 应当提及，正弦稳态电路的分析引入相量表示法，其目的是
2、把分析直流电路的方法、原理、定律通过相量法直接应用于分析正弦稳态电路，从而简化正弦稳态电路的数学运算。应理解，随着当今电路仿真软件在工程应用中的极大推广，对于复杂电路的计算，学习重点应放在电路基本分析方法应用的理解上。学习目标1、 理解正弦量的三要素，掌握两同频率正弦量的相位差的计算。2、 掌握正弦量的相位表示法。3、 掌握KCL、KVL相量形式的计算方法。4、 理解正弦交流电路中的有功功率（平均功率）、无功功率、视在功率、复功率、功率因数等概念。5、 理解正弦交流电路负载上获得最大功率的条件。6、 理解变压器的工作原理，掌握变电压、变电流、变阻抗的计算。7、 了解三相电路的概念,掌握三相电路
3、中电压、电流和功率的计算方法。4-1正弦电压和电流4-1-1 正弦电压和电流的瞬时表达式正弦交流信号的大小和极性是随时间按正弦规律作周期性变化的，它的电压和电流自然就是时间的正弦函数，通常用u(t)和i(t)来分别表示正弦电压和正弦电流。图4-1所示为以时间为横坐标的正弦电压波形图，它可以用示波器等图形显示设备或计算机分析软件很容易得到。 图4-1 正弦电压波形交流量的任一时刻的值称为瞬时值。瞬时值中的最大值（指绝对值）称为正弦量的振幅值，简称幅值。幅值通常用大写字母加下标（m）来表示。从图4-1可以看出，正弦电压的瞬时值是按周期T变化的。假定某个起始时间点正弦波的相角为0，变化的角频率为，它
4、的电压表达式可写成u(t)=Umsin(t+0) (4-1)由式（4-1）可知，当t=0时，正弦波的瞬时值u(0)=Umsin0，它等于图4-1中正弦波与纵坐标的交汇处的幅值。所以，式中相角0称为正弦波的初相角或初相位。需要说明的是：图4-1中平面坐标的时间轴是人为选定的，时间的起点（坐标O点）是人们为了对信号定量分析，或是为了与其它波形同步对照而设定。时间的起点可以选在正弦波的任意点。这样，式（4-1）就可以在数学上理解成正弦波的一个通用的瞬时电压表达式。时间的单位为秒，用s表示。电压幅值的单位为伏，同直流电压一样，用V表示。图4-2 以t为横坐标的正弦波形图4-1中的横坐标除了用时间t表示
5、外，还可以如图4-2所示用t表示。t的单位为弧度，用rad表示。当相角由0到2变化一个周期时，相当于时间t由0变化到T。由此可以推知，当式（4-1）中t=T时，T=2，即 （4-2）式中称为角频率。由于频率定义为1秒钟内波形重复出现的次数，用f表示，它是周期T的倒数，即，所以角频率与频率f的关系为=2f (4-3)在实际应用中，角频率和频率通称为频率，但角频率的单位为弧度/秒，用rad/s表示，频率f的单位为赫兹，用Hz表示。在数学关系上一定不能混淆。式（4-1）中，幅值Um为正弦波的最大值，初相角本应用弧度为单位，但在工程上通常用度为单位。由于初相角是相对起始时间点而言的，所以通常规定初相角
6、小于或等于，即180o。由余弦函数和正弦函数的关系cost=sin(t+900)可知，若将式（4-1）sin函数改为cos函数，它仍具有正弦波的所有特性，所以正弦电压瞬时表达式也可以用余弦函数形式表示，和正弦函数形式一样，可以唯一确定任一时刻的正弦电压的大小和真实方向（正弦波的极性）。与正弦电压相对应，正弦电流的瞬时表达式可以写成i(t)=Imsin(t+0) (4-4)4-1-2 正弦量的三要素由式（4-1）和（4-4）可以看出，正弦电压瞬时值u(t)和正弦电流瞬时值i(t)的数值取决于表达式中的三个基本要素，即取决于：幅值Um（Im），它是电压（电流）的振幅，也是正弦波的最大值；角频率 ；
7、初相角0。图4-3不同振幅、初相角的正弦电压波形图4-3给出了三个正弦波，它们的电压瞬时表达式分别为：波形u1： u1(t)=8sint V波形u2： u2(t)=4sint V波形u3： u3(t)=8sin(t-90o) V可见，三个正弦波的频率相同，但波形u1和波形u2的幅值不同，初相角相同，波形u1和波形u3的幅值相同，相角差90o。例4-1 已知某两个电路的电压和电流表达式分别为：电路1：u1(t)=10sin(2103t+15o) Vi1(t)=40sin(2103t-85o) mA电路2：u2(t)=15sin(4103t-) Vi2(t)=30sin(4103t+) mA求:
8、u1(t)与i1(t)之间、u2(t)与i2(t)之间的相位差。解 u1(t)与i1(t)之间的相位差为：=01-02=15o-（-85o）=100ou2(t)与i2(t)之间的相位差为：=01-02= -= -由上例可知，电路1的u1(t)与i1(t)之间的相位差为正值，说明u1(t)超前i1(t)100o；电路2的u2(t)与i2(t)之间的相位差为负值，说明u2(t)滞后i2(t) ，即滞后90o。提示：两个不同频率信号的相位差是不确定的，它是随时间不断变化的，所以只有两个同频率信号进行相位比较才有意义。例4-2 已知某正弦信号的振幅为100mV，频率为50Hz，初相角为30o。试写出它
9、的电压瞬时表达式，并计算该信号的周期T。解 由于电压瞬时表达式由三要素唯一确定，所以该信号的表达式为u (t)=100sin(250t+30o) mV该信号的周期为T=1/f=1/50=0.02 s=20 ms电路仿真分析范例例4 3已知i1(t)=10cos(314t+60o) A, i2(t)=10cos(314t-60o) A,f=50HZ,试绘出二者波形并说明相位关系。解：仿真电路如图4 4(a) 所示。图中可见，AM1相位60o，AM2相位-60o。由于电源频率是50HZ，即周期是20mS。图4 4(b) 中，“A-B” 项x 轴的计算值为13.38ms( 时间轴单位ms（毫秒）)，
10、表示AM1与AM2两波形峰值之间的时间差，也即相位差为120o（(13.38/20) 180o=120.4o)。 (a) (b)图4 4 例4 3图 讨论：当比较同频率波形的相位关系时，电路仿真软件表征的是波形之间的时间差，原因在于用时间差比较更为直观，因此工程上坐标横轴大多为时间轴。可以想见，在数字信号中，更适宜用时间来表征波形变化。4-1-3 有效值的概念由于周期信号的瞬时值是随时间变化的，无论是测量或计算都不方便，因此在工程实际中，采用一个特定值表征周期信号，这就是有效值，它是按能量等效的概念定义的。对于正弦电压信号，一个周期T内在电阻R上产生的热量为 （4-5）若它等效为幅值为U的直流
11、电压在电阻R上在0T时间内产生的热量，即= （4-6）我们称数值U为正弦电压u(t)的有效值。这一定义推广到所有周期信号都适用。对于正弦电压u(t)=Umsin(t+0)，由式（4-6）可求得其有效值为 （4-7）同理，对于正弦电流i(t)=Imsin(t+0)，其有效值为 (4-8)所以，式（4-1）、（4-4）也可以写成： （4-9） （4-10）可见，正弦波的有效值为其振幅的倍。提示：用有效值代替振幅，可作为正弦电压和电流的一个要素，大多数交流电压表的直接读数都是有效值，日常生活中使用的交流电220V也是有效值。例4-4 已知某正弦电压的有效值为6伏，频率为1kHz，初相角为60o，试写
12、出该电压的瞬时表达式。解 由电压有效值U=6V，可以算出其幅值为 V角频率为=2f=6.281103=6280 rad/s所以，该电压的瞬时表达式为u(t)=8.48sin(6280t+60o) V思考与练习4-1-1 已知正弦电压u(t)=Umsin(t+)，能否将其写成余弦函数形式？4-1-2 下列周期信号是正弦波吗？为什么？(a) i(t)=10sin(2103t+30o)-4cos(2103t-110 o) A(b) u(t)=5+ 3sin2t V4-1-3 试求下列正弦波的周期和频率：(a) 5sin6.28t(b) 3cos(100t+60o)(c) 10sin(50106t+3
13、0o)4-1-4 正弦电压和电流的三要素是什么？4-1-5 什么是有效值？它与振幅是什么关系？4-1-6 什么情况下计算两正弦波的相位差才有意义？4-1-7 计算下列正弦波的相位差，说明相互间超前或滞后的关系。（a） u(t)=3sin(2106t+35o) V；i(t)=8sin(2106t-45o) mA（b）u1(t)=12cos(4103t-) V；u2(t)=30sin(4103t+) mA4-2 正弦量的相量表示法相量表示法是除了瞬时值表示法以外的另一种表示方法。正弦稳态分析的任务是对单一频率的正弦波在线性、非时变电路中所产生的稳态响应的分析，在正弦波的频率为已知的确定值的条件下，
14、正弦量的三要素就可简化为除频率以外的两个要素，即由振幅（或有效值）与相角唯一确定一个正弦量。相量表示法恰恰是表示正弦量振幅（或有效值）与相角的最简便形式。此外，在以后学习含有电阻、电感或电容的电路中，用第一章学到的基尔霍夫定律求解某一支路的电压或电流时，必然遇到微分方程的求解问题，这在工程计算中十分烦琐，而采用相量法及其相应的算法，可以将求解微分方程的复杂过程简化为计算复数代数方程。由于相量法涉及到复数运算，本节首先复习复数的基本概念及其运算规则。4-2-1 复数的表示及运算规则1复数的直角坐标形式、极坐标形式及相互转换复数由实数和虚数两部分组成，它在图4-5所示复平面上对应为一个点。图中A点在复平面的实轴坐标是4
