《信号与系统 第二版课件 教学课件 ppt 作者 于慧敏 等编著第2章》由会员分享,可在线阅读,更多相关《信号与系统 第二版课件 教学课件 ppt 作者 于慧敏 等编著第2章(143页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 线性时不变系统的时域分析,2.1 连续时间LTI系统的时域分析,2.2 离散时间LTI系统的时域分析,2.3 单位冲激/脉冲响应与LTI系统性质,2.4 LTI系统的微分、差分方程描述,2.5 LTI系统的响应分解,2.6 LTI系统的框图表示,2.0 引言,2.0 引言,本章将讨论一种最基本而又极为有用的LTI系统的分析方法时域分析方法,即所涉及的信号的自变量都是关于时间t(或n)的一种分析方法。 主要目的之一是给出求解LTI系统的一般方法卷积,并以此为基础进一步讨论LTI系统的有关性质和相关问题。通过本章的讨论,将建立LTI系统的时域分析的理论框架。 基本思路: 利用LTI系统的叠
2、加性和齐次性 以及用某一基本信号表示一般信号,2.1 连续时间LTI系统的时域分析,2.2 离散时间LTI系统的时域分析,2.3 单位冲激/脉冲响应与LTI系统性质,2.4 LTI系统的微分、差分方程描述,2.5 LTI系统的响应分解,2.6 LTI系统的框图表示,2.0 引言,2.1.1 信号的脉冲分解,任一信号可用无穷多个单位冲激函数的移位、加权之“和” (即积分)来表示。,2.1.1 信号的脉冲分解,当 时,(2.2)式能够精确表示任一信号 ,即(2.2)演变为积分的形式(2.3)式。,(2.3),2.1.1 信号的脉冲分解,如果用以下矩形脉冲近似表示单位冲激函数 显然,2.1.1 信号
3、的脉冲分解,用一系列矩形脉冲来近似,得到的以下近似表达:,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,卷积方法是LTI系统的最基本的分析方法,是用于LTI系统求解对激励信号的响应。,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,为了说明其基本原理,考虑以下LTI系统。 其中, 称为系统的单位冲激响应。 将 分解为移位冲激信号的线性组合:,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,根据LTI系统的齐次性,有 再根据LTI系统的叠加性,我们有 上式取极限,有,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,表示为积分形式 因此,响应 为 上式的数学运算称为卷积积分,简称卷积,通常记为,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,卷积积分的意
4、义: 1. 原理:将信号分解为移位冲激信号的线性组合,借助系统的单位冲激响应,获得LTI系统对激励的响应解。 2. LTI系统对输入信号的响应过程可以看作是两个信号相互作用的过程:卷积积分运算。,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,图 LTI系统的单位冲激响应的表示,3. LTI系统的单位冲激响可以完全表征系统的特性。,4. 单位冲激响给出连续时间LTI系统更一般的描述方法。,例2.1,【例2.1】已知一线性时不变系统的单位冲激响应为 系统的输入信号为一单边指数信号 , 求系统对输入信号的响应输出 。 解:系统的输出 为 由于 时, ;以及 时, 。 所以积分变量 的取值区间应为 。 在此区间
5、内,,例2.1,故有,2.1.3 卷积积分的图示法,观察 可得卷积的计算的图示法的一般步骤为:,2.1.3 卷积积分的图示法,1. 反转:卷积积分中 为积分变量, 为参变量,将函数 和 的自变量用 代换,将 以纵坐标轴为轴 线反转得 。,2.1.3 卷积积分的图示法,2. 平移:为了计算 时刻的卷积值, 将 随参变量 平移,得 。 若 ,则 沿 轴向右平移 , 若 ,则 沿 轴向左平移 。,2.1.3 卷积积分的图示法,3. 相乘:将 与 相乘, 得函数 4. 积分:求 与 乘积 曲线下的面积,即为t时刻的卷 积分值。 5. 选取不同的t值,重复上述2-4步骤,可计算出不同的 时刻t所对应的卷
6、积和值。,例2.2,【例2.2】 已知信号 和 如图(a)所示, 求卷积积分:,例2.2,解: 1. 先将 和 的自变量更换为 ,再将 反转为 ; 沿 轴平移得 ;将 与 相乘,得曲线 。,例2.2,2. 由于 和 均为有限时宽信号,因此曲线 的非零区(重叠区)将视 的取值不同而有所不同,因此相乘和积分应随不同 的取值范围分几个区间进行。 (1)当 时,由图 (d)所示,知 与 无重叠部分,乘积为零,所以,(2) 当 时,由图2-8(e)所示,知 与 的重叠区为 ,即乘积 在区间 上非零,所以:,例2.2,(3) 当 时,由图2-8(f)所示,知 与 的重叠区为 ,所以:,例2.2,(4)当
7、时,由图2-8(g)所示,知 与 的重叠区为 ,所以:,例2.2,(5)当 时,由图2-8(h)所示,知 与 无重叠区,所以:,例2.2,例2.2,y(t)的波形如图 (i)所示:,MATLAB演示,【例2-24】计算两矩形窗信号的卷积。,图2-36 例2-24的运行结果图,MATLAB演示,2.1.4 卷积积分的性质,卷积积分有一些有用的性质,掌握这些有用的性质可以简化卷积运算,同时也给信号与系统的分析提供了非常有用的分析方法,从中可以得出不少重要的结果。,1. 交换律 即: 卷积积分的交换律表明:卷积与两个信号的顺序无关。,2.1.4 卷积积分的性质,图2-9 从系统分析的观点解释卷积的交
8、换律,一、卷积代数,2. 结合律 考查如图所示的级联系统,2.1.4 卷积积分的性质,图2-10 卷积结合律及交换律的系统意义,根据卷积积分,有 由结合律有 再根据交换律,可得 重要结论:LTI系统的级联,与各子系统的次序无关,即各子系统连接的顺序可以调换,总的响应为各子系统的卷积。,2.1.4 卷积积分的性质,3. 分配律 考查图2-11所示并联LTI系统,2.1.4 卷积积分的性质,图2-11 分配律的系统意义,我们有 根据分配律有 分配律性质表明,并联LTI系统总的单位冲激响应等于各子 系统单位冲激响应之和。,2.1.4 卷积积分的性质,1. 卷积的微分性质 从上述的卷积的代数性质可知,
9、图所示的两个级联系统是完全等价,即y1(t)=y2(t)。结合卷积的代数性质,我们有,2.1.4 卷积积分的性质,二、卷积的微分与积分特性,由于 因此有 利用交换律,可得 卷积的微分性质:,2.1.4 卷积积分的性质,2. 卷积的积分性质 与卷积的微分性质相类似,同样我们可得卷积的积分性质: 其证明与微分性质的证明一样,可利用上面所示的图解说明。,2.1.4 卷积积分的性质,图2-13 卷积积分的图解说明,3. 推广 应用上述推演方法,可以导出卷积的高阶导数或多重积分的性质: 设 ,则有 其中,当i、j、ij取正整数时为导数的阶次,取负整数时为重积分的次数,等式两边必须满足 。,2.1.4 卷
10、积积分的性质,一个特例是取 , , ,或取 , , ,我们有 即,2.1.4 卷积积分的性质,三、与冲激函数 和阶跃函数 的卷积: 对于冲激偶 ,有 对于单位阶跃函数 ,可得:,2.1.4 卷积积分的性质,推广到更一般的情况,我们有 当 取正整数时表示导数阶次, 取负整时为重积分的次数。 例如 表示 一次积分。,2.1.4 卷积积分的性质,【例2.4】 用卷积性质计算图2-15(a)所示两信号的卷积。 解:利用,例2.4,例2.4,2.1 连续时间LTI系统的时域分析,2.2 离散时间LTI系统的时域分析,2.3 单位冲激/脉冲响应与LTI系统性质,2.4 LTI系统的微分、差分方程描述,2.
11、5 LTI系统的响应分解,2.6 LTI系统的框图表示,2.0 引言,2.2.1 离散时间信号的单位脉冲分解,展开为:,图2-16 一个离散时间信号分解为一组加权的移位脉冲之和,2.2.1 离散时间信号的单位脉冲分解,例2.5,【例2.5】 用单位脉冲表示单位阶跃信号 。 因为 时, ,而 时, ,上式可表示为 如我们做变量替换 , 还可以表示另一种形式,即 上式表明, 也可表示为单位脉冲信号的累加。,2.2.2 卷积和与单位脉冲响应,为了说明其基本原理,考虑以下LTI系统。 其中, 称为系统的单位脉冲响应。 将 分解为移位冲激信号的线性组合:,2.2.2 卷积和与单位脉冲响应,根据LTI系统
12、的齐次性,有 再根据LTI系统的叠加性,我们有 有,2.2.2 卷积和与单位脉冲响应,卷积和的意义 1. 离散时间LTI系统对输入信号的响应过程可以看作是两个信号相互作用的过程:卷积和运算。 2. 单位脉冲响hn可以完全表征系统。 3. 单位冲激响给出离散时间LTI系统更一般的描述方法。,1.反转: 2.平移: 3.相乘求和:,卷积和图示法:,2.2.2 卷积和与单位脉冲响应,MATLAB演示,【例2-23】已知: , 求 。 解:源程序如下,MATLAB演示,图2-35 例2.23的运行结果图,2.2.3 卷积和的性质,1卷积和的代数性质 交换律: 结合律: 分配律:,图2-19 离散时间L
13、TI系统的级联,2.2.3 卷积和的性质,2与冲激脉冲序列 和阶跃函数 的卷积 进一步有 任意信号 与单位阶跃 的卷积和,可表示为: 推论: (1) (2)若: 则:,2.1 连续时间LTI系统的时域分析,2.2 离散时间LTI系统的时域分析,2.3 单位冲激/脉冲响应与LTI系统性质,2.4 LTI系统的微分、差分方程描述,2.5 LTI系统的响应分解,2.6 LTI系统的框图表示,2.0 引言,2.3.1 LTI系统的可逆性与可逆系统,LTI逆系统与原系统存在以下关系: 根据上式,可以构造LTI系统的可逆性及其逆系统。,图2-20 LTI系统的可逆性,【例2.8】 一个连续时间LTI系统的
14、输入输出关系为 试求它的逆系统。 解:将 代入方程,可得该系统的单位冲激响应 设该系统的逆系统为 ,则有,例2.8,将 代入上式,再根据 的卷积性质,有 观察上式,可知 为由方程 描述 的连续LTI系统的单位冲激响应,故可求得逆系统为,例2.8,【例2.9】 一离散时间累加器系统的输入输出关系为 试求它的逆系统。 解:根据单位脉冲 的卷积和性质,可将上述输入输出关系重新写为 将原系统脉冲响应代入上式,得 根据逆系统的定义,可得逆系统 为一差分器。,例2.9,A,实际上,由A式,我们可得 等式左边化简得 由 的卷积和性质及与 的关系 式B可变为 ,即 ,为一累加器。 因此,累加器的逆系统为一差分器。,例2.9,B,对于稳定的系统:有界的输入必产生有界的输出。 充要条件为:,2.3.2 LTI系统的稳定性,证明: 1. 必要条件: 设一具有单位冲激响应h(t)的稳定LTI系统的输入信号为 显然 为一有界信号, ,对所有 。 则系统输出为,2.3.2 LTI系统的稳定性,因此, 时,输出 为 因为 为稳定系统在 时刻上的输出, 必有界。 因此要求上式的右边积分值有界,即 (2.43) 即系统的单