信号与系统 第二版课件 教学课件 ppt 作者 于慧敏 等编著第2章

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1、第二章 线性时不变系统的时域分析,2.1 连续时间LTI系统的时域分析,2.2 离散时间LTI系统的时域分析,2.3 单位冲激/脉冲响应与LTI系统性质,2.4 LTI系统的微分、差分方程描述,2.5 LTI系统的响应分解,2.6 LTI系统的框图表示,2.0 引言,2.0 引言,本章将讨论一种最基本而又极为有用的LTI系统的分析方法时域分析方法，即所涉及的信号的自变量都是关于时间t（或n）的一种分析方法。 主要目的之一是给出求解LTI系统的一般方法卷积，并以此为基础进一步讨论LTI系统的有关性质和相关问题。通过本章的讨论，将建立LTI系统的时域分析的理论框架。 基本思路： 利用LTI系统的叠

2、加性和齐次性 以及用某一基本信号表示一般信号,2.1 连续时间LTI系统的时域分析,2.2 离散时间LTI系统的时域分析,2.3 单位冲激/脉冲响应与LTI系统性质,2.4 LTI系统的微分、差分方程描述,2.5 LTI系统的响应分解,2.6 LTI系统的框图表示,2.0 引言,2.1.1 信号的脉冲分解,任一信号可用无穷多个单位冲激函数的移位、加权之“和” （即积分）来表示。,2.1.1 信号的脉冲分解,当 时，(2.2）式能够精确表示任一信号 ，即(2.2）演变为积分的形式（2.3)式。,(2.3),2.1.1 信号的脉冲分解,如果用以下矩形脉冲近似表示单位冲激函数 显然,2.1.1 信号

3、的脉冲分解,用一系列矩形脉冲来近似，得到的以下近似表达：,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,卷积方法是LTI系统的最基本的分析方法，是用于LTI系统求解对激励信号的响应。,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,为了说明其基本原理，考虑以下LTI系统。 其中， 称为系统的单位冲激响应。 将 分解为移位冲激信号的线性组合：,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,根据LTI系统的齐次性，有 再根据LTI系统的叠加性，我们有 上式取极限，有,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,表示为积分形式 因此，响应 为 上式的数学运算称为卷积积分，简称卷积，通常记为,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,卷积积分的意

4、义： 1. 原理：将信号分解为移位冲激信号的线性组合，借助系统的单位冲激响应，获得LTI系统对激励的响应解。 2. LTI系统对输入信号的响应过程可以看作是两个信号相互作用的过程：卷积积分运算。,2.1.2 卷积积分与单位冲激响应,图 LTI系统的单位冲激响应的表示,3. LTI系统的单位冲激响可以完全表征系统的特性。,4. 单位冲激响给出连续时间LTI系统更一般的描述方法。,例2.1,【例2.1】已知一线性时不变系统的单位冲激响应为 系统的输入信号为一单边指数信号 ， 求系统对输入信号的响应输出 。 解：系统的输出 为 由于 时， ；以及 时， 。 所以积分变量 的取值区间应为 。 在此区间

5、内，,例2.1,故有,2.1.3 卷积积分的图示法,观察 可得卷积的计算的图示法的一般步骤为：,2.1.3 卷积积分的图示法,1. 反转：卷积积分中 为积分变量， 为参变量，将函数 和 的自变量用 代换，将 以纵坐标轴为轴 线反转得 。,2.1.3 卷积积分的图示法,2. 平移：为了计算 时刻的卷积值， 将 随参变量 平移，得 。 若 ，则 沿 轴向右平移 , 若 ，则 沿 轴向左平移 。,2.1.3 卷积积分的图示法,3. 相乘：将 与 相乘， 得函数 4. 积分:求 与 乘积 曲线下的面积，即为t时刻的卷 积分值。 5. 选取不同的t值，重复上述2-4步骤，可计算出不同的 时刻t所对应的卷

6、积和值。,例2.2,【例2.2】 已知信号 和 如图(a)所示， 求卷积积分：,例2.2,解： 1. 先将 和 的自变量更换为 ，再将 反转为 ； 沿 轴平移得 ；将 与 相乘，得曲线 。,例2.2,2. 由于 和 均为有限时宽信号，因此曲线 的非零区（重叠区）将视 的取值不同而有所不同，因此相乘和积分应随不同 的取值范围分几个区间进行。 （1）当 时，由图 (d)所示，知 与 无重叠部分，乘积为零，所以,(2) 当 时，由图2-8(e)所示，知 与 的重叠区为 ，即乘积 在区间 上非零，所以：,例2.2,(3) 当 时，由图2-8(f)所示，知 与 的重叠区为 ，所以：,例2.2,(4)当

7、时，由图2-8(g)所示，知 与 的重叠区为 ，所以：,例2.2,(5)当 时，由图2-8(h)所示，知 与 无重叠区，所以：,例2.2,例2.2,y(t)的波形如图 (i)所示：,MATLAB演示,【例2-24】计算两矩形窗信号的卷积。,图2-36 例2-24的运行结果图,MATLAB演示,2.1.4 卷积积分的性质,卷积积分有一些有用的性质，掌握这些有用的性质可以简化卷积运算，同时也给信号与系统的分析提供了非常有用的分析方法，从中可以得出不少重要的结果。,1. 交换律 即： 卷积积分的交换律表明：卷积与两个信号的顺序无关。,2.1.4 卷积积分的性质,图2-9 从系统分析的观点解释卷积的交

8、换律,一、卷积代数,2. 结合律 考查如图所示的级联系统,2.1.4 卷积积分的性质,图2-10 卷积结合律及交换律的系统意义,根据卷积积分，有 由结合律有 再根据交换律，可得 重要结论：LTI系统的级联，与各子系统的次序无关，即各子系统连接的顺序可以调换，总的响应为各子系统的卷积。,2.1.4 卷积积分的性质,3. 分配律 考查图2-11所示并联LTI系统,2.1.4 卷积积分的性质,图2-11 分配律的系统意义,我们有 根据分配律有 分配律性质表明，并联LTI系统总的单位冲激响应等于各子 系统单位冲激响应之和。,2.1.4 卷积积分的性质,1. 卷积的微分性质 从上述的卷积的代数性质可知，

9、图所示的两个级联系统是完全等价，即y1(t)=y2(t)。结合卷积的代数性质，我们有,2.1.4 卷积积分的性质,二、卷积的微分与积分特性,由于 因此有 利用交换律，可得 卷积的微分性质：,2.1.4 卷积积分的性质,2. 卷积的积分性质 与卷积的微分性质相类似，同样我们可得卷积的积分性质： 其证明与微分性质的证明一样，可利用上面所示的图解说明。,2.1.4 卷积积分的性质,图2-13 卷积积分的图解说明,3. 推广 应用上述推演方法，可以导出卷积的高阶导数或多重积分的性质： 设 ，则有 其中，当i、j、ij取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数，等式两边必须满足 。,2.1.4 卷

10、积积分的性质,一个特例是取 ， ， ，或取 ， ， ，我们有 即,2.1.4 卷积积分的性质,三、与冲激函数 和阶跃函数 的卷积： 对于冲激偶 ，有 对于单位阶跃函数 ，可得：,2.1.4 卷积积分的性质,推广到更一般的情况，我们有 当 取正整数时表示导数阶次， 取负整时为重积分的次数。 例如 表示 一次积分。,2.1.4 卷积积分的性质,【例2.4】 用卷积性质计算图2-15(a)所示两信号的卷积。 解：利用,例2.4,例2.4,2.1 连续时间LTI系统的时域分析,2.2 离散时间LTI系统的时域分析,2.3 单位冲激/脉冲响应与LTI系统性质,2.4 LTI系统的微分、差分方程描述,2.

11、5 LTI系统的响应分解,2.6 LTI系统的框图表示,2.0 引言,2.2.1 离散时间信号的单位脉冲分解,展开为：,图2-16 一个离散时间信号分解为一组加权的移位脉冲之和,2.2.1 离散时间信号的单位脉冲分解,例2.5,【例2.5】 用单位脉冲表示单位阶跃信号 。 因为 时， ，而 时， ，上式可表示为 如我们做变量替换 ， 还可以表示另一种形式，即 上式表明， 也可表示为单位脉冲信号的累加。,2.2.2 卷积和与单位脉冲响应,为了说明其基本原理，考虑以下LTI系统。 其中， 称为系统的单位脉冲响应。 将 分解为移位冲激信号的线性组合：,2.2.2 卷积和与单位脉冲响应,根据LTI系统

12、的齐次性，有 再根据LTI系统的叠加性，我们有 有,2.2.2 卷积和与单位脉冲响应,卷积和的意义 1. 离散时间LTI系统对输入信号的响应过程可以看作是两个信号相互作用的过程：卷积和运算。 2. 单位脉冲响hn可以完全表征系统。 3. 单位冲激响给出离散时间LTI系统更一般的描述方法。,1.反转： 2.平移： 3.相乘求和：,卷积和图示法：,2.2.2 卷积和与单位脉冲响应,MATLAB演示,【例2-23】已知： ， 求 。 解：源程序如下,MATLAB演示,图2-35 例2.23的运行结果图,2.2.3 卷积和的性质,1卷积和的代数性质 交换律： 结合律： 分配律：,图2-19 离散时间L

13、TI系统的级联,2.2.3 卷积和的性质,2与冲激脉冲序列 和阶跃函数 的卷积 进一步有 任意信号 与单位阶跃 的卷积和，可表示为： 推论： （1） （2）若： 则：,2.1 连续时间LTI系统的时域分析,2.2 离散时间LTI系统的时域分析,2.3 单位冲激/脉冲响应与LTI系统性质,2.4 LTI系统的微分、差分方程描述,2.5 LTI系统的响应分解,2.6 LTI系统的框图表示,2.0 引言,2.3.1 LTI系统的可逆性与可逆系统,LTI逆系统与原系统存在以下关系： 根据上式，可以构造LTI系统的可逆性及其逆系统。,图2-20 LTI系统的可逆性,【例2.8】 一个连续时间LTI系统的

14、输入输出关系为 试求它的逆系统。 解：将 代入方程，可得该系统的单位冲激响应 设该系统的逆系统为 ，则有,例2.8,将 代入上式,再根据 的卷积性质,有 观察上式，可知 为由方程 描述 的连续LTI系统的单位冲激响应,故可求得逆系统为,例2.8,【例2.9】 一离散时间累加器系统的输入输出关系为 试求它的逆系统。 解：根据单位脉冲 的卷积和性质，可将上述输入输出关系重新写为 将原系统脉冲响应代入上式，得 根据逆系统的定义，可得逆系统 为一差分器。,例2.9,A,实际上，由A式，我们可得 等式左边化简得 由 的卷积和性质及与 的关系 式B可变为 ，即 ，为一累加器。 因此，累加器的逆系统为一差分器。,例2.9,B,对于稳定的系统：有界的输入必产生有界的输出。 充要条件为：,2.3.2 LTI系统的稳定性,证明: 1. 必要条件： 设一具有单位冲激响应h(t)的稳定LTI系统的输入信号为 显然 为一有界信号， ，对所有 。 则系统输出为,2.3.2 LTI系统的稳定性,因此， 时，输出 为 因为 为稳定系统在 时刻上的输出， 必有界。 因此要求上式的右边积分值有界，即 （2.43） 即系统的单