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1、7 线性离散控制系统,7.1 引言 7.2 采样过程的数学描述 7.3 信号恢复 7.4 Z变换理论 7.5 采样系统的数学模型 7.6 离散控制系统分析 7.7 数字控制器的设计 7.8 Matlab在离散系统中应用,71 引言,7.1.1 直接数字控制系统（DDCDirect Digital Control）,input,digital,图7-1 直接数字控制系统（DDC）,7.1.2计算机监督控制系统（SCCSurveillance Computer Control System）,图7-2 计算机监督控制系统（SCC）,7.1.3 集散控制系统（TDCTotal and Distrib
2、uted Control）,集中调度控制中心,子调度控制中心,.,图7-3 集散控制系统（TDC）,7.2 采样过程的数学描述,7.2.1 采样过程及其数学描述 7.2.2 采样定理 7.2.3 采样周期的选择,7.2.1 采样过程及其数学描述,在采样控制系统中将连续信号变为断续信号的过程称为采样过程。实现这个采样过程的装置称为采样装置 ，如图7-4所示。,e*（t）,e*（t）,e（t）,e（t）,图7-4 采样开关,将断续信号用如下数学式子表示 对离散信号e*（t）取拉氏变换，可得,e*(t)=,E*(s)=Le*(t)= L,=,图7-6 连续信号e（t）与断续信号e*（t）,(7-2)
3、,(7-5),例7.1 设e（t）=1（t），试求e*（t）的拉氏变换。 解： 由式（7-5）有,E*(s)= =1 + e-TS + e-2TS + =,观察分析式（7-2），我们可以看出 ) 是周期函数，因此，可将其展开成富里哀级数,(7-6),式中 称为系统的采样频率。,=,(7-7),Ck=,将上述式子代入式（7-2），有,(7-8),对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位移定理，我们得到E*（s）,E*(s)=,(7-9),式（7-9）在描述采样过程的复频域特征是极其重要的。假定连续信号e（t）的频谱是单一的连续频谱，如图7-7所示。,-,-,E(j ),0,0,-,-,(a) 连续信
4、号e（t）的频谱,(b)离散信号e*（t）的频谱（ 2 ）,7.2.2 采样定理,为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍，即,或 T,(7-10),(7-11),理想滤波器 的滤波特性为,1,0,(7-12),其频率特性如图7-8,-,图7-8 理想滤波器的频率特性,7.2.3 采样周期的选择,工程实践表明，根据表7-1给出的参考数据选择采样周期T，可以取得满意的控制效果。,表7-1 工业过程T的选择,从时域性能指标来看，随动系统的采样角频率可近似取为,(7-13),由于T2 ，所以采样周期可按下式选取：,(7-14),采样周期T可通过单
5、位接跃响应的上升时间tr或调节时间ts按下列经验公式选取：,或者,(7-15),(7-16),7.3 信号恢复,7.3.1 零阶保持器 7.3.2 一阶保持器,无畸变地重现原连续信号的理想滤波器应该具有频率特性（如图7-8所示 ）,1,0,经过采样理想滤波后，脉冲序列的频谱为,(7-18),7.3.1 零阶保持器,零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。如图7-11所示，零阶保持器的输出为阶梯信号。,采样开关,保持器,由于 ，（k=0,1,2,）所以保持器的输出 与连续输入信号 之间的关系式为,(7-19),的拉式变换则为,(7-20),上式
6、与式（7-5）比较后，知道零阶保持器的传递函数为,(7-21),b),图7-11 应用零阶保持器恢复信号,零阶保持器的频率特性为,(7-22),其幅频特性和相频特性如图7-12所示。,3,2,-,-2,-3,图7-12 零阶保持器的频率特性,7.3.2 一阶保持器,一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推输出式中t为kT到（k1）T之间的时间变量。如图7-13所示 。,(7-23),0 t 2t 3t ,图7-13 应用一阶保持器恢复信号,一阶保持器的脉冲响应函数应该如图7-14所示的那样。,h(t),t,T,-T,1,0,-1,单位阶跃,单位斜坡,2单位阶跃,2单位阶跃,单位阶跃
7、,单位斜坡,a）一阶保持器的脉冲响应函数,b）脉冲响应函数的分解,图7-14,按图7-14b，根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得保持器的传递函数,(7-24),或,(7-25),一阶保持器的频率特性为,(7-26),式中,tg-1 T,(7-27),图7-15就是按上式画得的幅频特性。虚线 为零阶保持器的频率特性 。,2,3,-,-2,图7-15 一阶保持器的频率特性（虚线为零阶保持器的频率特性）,7. 4 Z变换理论,7.4.1 Z变换 7.4.2 Z变换的性质 7.4.3 Z反变换,7.4.1 Z变换,由式（7-5）可知，断续函数x*（t）的拉氏变换为,X*（S）= X(kT)e-kT
8、S,(7-28),若令,eTS = Z,(7-29),则将在S域分析的问题变成Z域的分析问题。,X ( Z ) = X(kT)Z-k,(7-30),X（Z）称为X*（t）的z 变换，记为 z,z = X(Z) = X(kT)Z-k,(7-31),在Z变换中，X（Z）为采样脉冲序列的Z变换，即只考虑采样时刻的信号值。由于在采样时刻，X（t）的值就是X（kT）,所以从这个意义上说，X（Z）既是X*（t）的Z变换，也可以写为X(t)的Z变换，即,Z = z =X(Z)= X(kT)Z-k,(7-32),例：已知函数x1( t )=1( t ),x2( t )= (t-kT),求它们的Z变换表达式。,
9、解：X1（Z）= 1（kT）Z-k,= 1 + Z-1 + Z-2 + ,= =,X2（Z）= （t-kT）Z-k =,对于较复杂的函数求Z变换表达式时，可以用如下公式法 已知G(s),若si为G(s)的极点，则,a,=,式中,例：已知 G( s )= , 求G(Z)。,解： = Res,=,=,G( s ) -,= 0(eaT1) = 1eaT,G(Z) = + =,7.4.2 Z变换的性质,线性定理 式中a1,a2,为常数。 (2) 实平移定理,z = a1X1(Z) +a2X2(Z) + ,(7-33),z = Zm,(7-34),z = Z-m X(Z),(7-35),证明： z =,
10、= Zm = Zm,又 z = =,= Z-m,前面假定k0时 X(kT)=0 。,z = Z-m X(Z),例：已知 x( t )= t2 , 求X(Z)。 解： x( t )= t2 , x(0)=0。 设 x(t+T)= （t+T）2 = t2 + 2Tt + T2 x(t+T)x(T) = T (2t + T) 对上式两边取Z变换,Z = z = T2Z,由实位移定理有,Z （z-1）x(z),(3)复平移定理,z,(7-36),例 已知 , 求X（Z） 解 z z,(4)复域微分定理,Z,(7-37),例 已知x(t)=t3 ,求 X(Z) 解 zt2= zt3=-TZ,(5)初值定
11、理,(7-38),证明：由Z变换的定义有,(6) 终值定理,(7-39),证明 : 由Z变换的定义有,由实位移定理有,Z Zx(Z)-x(0),上二式相减有,=,例 已知 求的Z变换,解 z 由实位移定理有 z 由微分定理有 z =,7.4.3 Z反变换,幂级数法 通常Z变换表达式有如下形式：,(7-40),实际的物理系统满足 n,则用综合除法有,X(Z)=,(7-41),由Z变换的定义式可知 则,即为x(z)的原函数 例 求,解 X(z)=,=,（2）部分分式法,部分分式法又称查表法。它的基本思想是将X（Z）/Z展开成部分分式，,(7-42),然后，查Z变换表，即可求取X（Z）的原函数x(k
12、T) 例 已知 求 X(kT) 解：,=,=,-,X(Z)= ,查Z变换表有 x(kT)=1e-akT,x*( t )= (1e-akT)(t-kT),（3） 留数法 由Z变换的定义式有,X(Z)= X(kT)Z-k = x(0) + x(T)Z-1 + x(2T)Z-2 + ,(7-43),上式两端乘以Zk-1有,X(Z)Zk-1 = x(0)Zk-1 +x(T)Zk-2,+ + x(kT)Z-1 + ,(7-44),上式为罗朗级数，x（kT）是Z-1项的系数，根据复变函数中求罗朗级数系数的公式，得,x(kT) =,在此，积分路径包围X（Z）Zk-1 的所有极点。根据留数定理，则上式可写成：
13、,x(kT) = Res,(7-45),(7-46),式中Res表示函数的留数。,7.5 采样系统的数学模型,7.5.1 描述离散控制系统的线性差分方程 7.5.2 脉冲传递函数,7.5.1 描述离散控制系统的线性差分方程,线性定常离散系统可以用后向差分方程来描述,y(k) + a1y(k-1) + + any(k-n) = b0r(k) + b1r(k-1) + + r(k-m),(7-47),也可用前向差分方程来描述线性定常离散控制系统,y(k+n) + a1y(k+n-1) + + an-1y(k+1) + any(k) = b0r(k+m) + b1r(k+m-1) + + bm-1r
14、(k+1) + bmr(k),(7-48),求解差分方程常用的有迭代法和Z变换法。 （1）迭代法 若已知线性定常离散控制系统的差分方程式（7-47）或式（7-48），并且给定输出,序列初值，则可以利用递推关系，在计算机上一步一步计算出输出序列。,（2）Z变换法 若已知线性定常离散控制系统的差分方程描述，则根据Z变换的实位移定理，对差分方程两边取Z变换，再根据初始条件及给定输入控制信号的Z变换表达式，可求取离散控制系统输出的Z变换表达式，再求输出Z变换的Z反变换表达式，即可求取离散控制系统输出的实域表达式Y(K)。,例：已知离散系统的差分方程为,Y(0) = -1, 求差分方程的解。,解：对差分方程取Z变换，得,-,又,查Z变换表，有,7.5.2 脉冲传递函数,1. 开环脉冲传递函数,一离散开环控制系统如图7-17所示。,r*( t ),r ( t ),y*( t ),y ( t ),图7-17 开环离散控制系统,脉冲传递函数定义为在零初始条件下，输出Y*(t)的Z变换Y(Z)与输入r*(t)的Z变换R(Z)之比。脉冲传递函数用G(Z)表示，则,(7-49),假定动态环节的单位脉冲过渡函数为h(t)。该环节的输入为r*(t),(7-50),利用线性环节满足叠加原理，无穷多个脉冲作用在线性环节G(s)上，其
