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1、9.6.2 输出反馈与极点配置 输出量反馈到状态微分的系统结构图如图9-15所示。 图9-15 输出反馈到状态微分 设被控对象的状态方程为 (9-133) 输出反馈系统的状态方程为,故 (9-134) 式中h为（n1）输出反馈矩阵。 定理9-2：用输出到状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统状态完全可观测。 与状态反馈极点配置的结论相仿，可表明输出到状态微分的反馈系统仍是可观测的，也未改变闭环零点，于是不一定能保持原受控系统的可控性。,证明：利用对偶定理来证明。若（A, B, C）可观测，则对偶系统（AT, BT, CT）可控，由状态反馈极点配置定理可知，（ATCTh）的特征值可
2、任意配置，但（ATCTh）特征值与（ATCTh）T=AhC的特征值相同，故当且仅当（A, B, C）可观测时，可以任意配置AhC的特征值。证毕。,为了根据期望的闭环极点位置来设计输出反馈矩阵h的参数，只需将期望的系统特征多项式与该输出反馈系统特征多项式 相比较即可。 输出量反馈到参考输入的系统结构图如图9-16所示， 图9-16 输出反馈到参考输入 其中 u=v-hy (9-135),该输出反馈系统的动态方程为 (9-136) 式中h为（p1）输出反馈矩阵。若令hC=K, 该输出反馈便等价为状态反馈。适当选取h，可任意配置特征值。 可推论，当h阵是并常数矩阵时，并不能任意配置极点。输出到输入的
3、反馈不会改变受控系统的可控性和可观性（证明略）。,9.6.3 状态观测器 9.6.3 .1 全维状态观测器 考虑如下线性定常系统 (9-137) 从理论上，我们可以构造一个动态方程，其形式与式（9-137）相同，但用计算机实现的模拟受控系统 (9-138) 式中 分别为模拟系统的状态向量估计值和模拟输出向量。 根据反馈控制原理，我们可用利用 ,并将其反馈至 处，控制 尽快趋近于零，从而使得 尽快趋近于零, 这时就可用利用 来形成状态反馈了。此时的状态向量x由如下动态方程 (9-139),中的状态来近似，该式表示状态观测器。 图9-17所示为系统和全维状态观测器的方块图。 图9-17 全维状态观
4、测器方块图,9.6.3 .2 全维状态观测器的分析 由观测器动态方程式(9-139)可得到观测器的误差方程，用式（9-137）减去式(9-139)，可得 定义和之差为误差向量，即 则式(9-140)改写为 由式(9-141)可看出，误差向量的动态特性由矩阵A - KeC的特征值决定。 如果矩阵A -KeC是稳定矩阵，则对任意初始误差向量e(0)，误差向量都将趋近于零。,(9-140),(9-141),如果系统是完全可观测的，则可以选择。使得A - KeC具有任意所期望的特征值。 如前所述，对于A - KeC所期望特征值的观测器增益矩阵的确定，其充要条件为：原系统的对偶系统 是状态完全可控的。该
5、对偶系统的状态完全可控的条件是 的秩为n 。这是由式(9-137)定义的原系统的完全可观测性条件。,9.6.3 .3全维状态观测器的设计 在设计全维状态观测器时，如果将式（9-138）给出的系统变换为可观测标准形就很方便了。可按下列步骤进行：定义一个变换矩阵P，使得 式中R是可观测性矩阵 且对称矩阵W由下式定义，即,(9-142),(9-143),式中， 是由下式给出的如下特征方程的系数 显然，由于假设系统是完全可观测的，所以矩阵WR的逆存在。在线性变换x = P作用下，系统可变换成可观标准形,(9-144),(9-145),仿照状态反馈进行极点配置方法中状态反馈矩阵K的确定，我们有 式中，
6、, ,i=1, 2, , n 分别是原系统特征多项式和期望特征多项式的系数。式(9-146)确定了所需的状态观测器增益矩阵。 一旦选择了所期望的特征值（或所期望的特征方程），只要系统完全可观测，就能设计全维状态观测器。所选择的特征方程的期望特征值，应使得状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快25倍。,(9-146),9.6.3 .4 最优选择的注释 观测器增益矩阵依赖于所期望的特征方程 在许多情况中， 的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作所期望的特征方程。对于每个期望的特征方程，可有不同的矩阵。 【例9-28】考虑如下的线性定常系统 式中,设计一个全维状观测器。设系统结构和图9-
7、17所示的相同。又设观测器的期望特征值为 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵，为此先检验可观测性矩阵，即 的秩为2。因此，该系统是完全可观测的，并且可确定期望的观测器增益矩阵。我们将用2种方法来求解该问题。 方法1：采用式（9-146）来确定观测器的增益矩阵。由于该状态矩阵A已是可观测标准形，因此变换矩阵。由于给定系统的特征方程为,因此 观测器的期望特征方程为 因此 故观测器增益矩阵可由式（9-146）求得如下,方法2：设 定义 则特征方程为 由于所期望的特征方程为,(9-147),比较式（(9-147）和以上方程，可得 或 当然，无论采用什么方法，所得的是相同的。
8、全维状态观测器由下式给出为,或者 与极点配置的情况类似，如果系统阶数n4，则推荐方法1。这是因为在采用方法1时，所有矩阵都可由计算机实现；而方法2总是需要手工计算包含未知参数 的特征方程。,9.6.3 .5 观测器的引入对闭环系统的影响分离定理 现在不采用真实状态x(t)而采用观测状态 研究对闭环控制系统特征方程的影响。 考虑如下线性定常系统 且假定该系统状态完全可控和完全可观测。 对基于观测状态的状态反馈控制,利用该控制，状态方程为 将直实状态x(t)和观测状态 的差定义为误差e(t)，即 将误差向量代入式（9-148），得 注意，观测器的误差方程为(9-141)，重写为,(9-148),(
9、9-149),(9-150),将式(9-149)和(9-150)合并，可得 式(9-151)描述了观测-状态反馈控制系统的动态特性。该系统的特征方程为 或,(9-151),注意: 1.观测-状态反馈控制系统的闭环极点包括由极点配置单独设计产生的极点和由观测器单独设计产生的极点。 2.如果系统的阶次为n，则观测器也是n阶的（如果采用全维状态观测器），并且整个闭环系统的特征方程为2n阶的。 定理9-3 分离定理 若受控系统（A, B, C）可控可观测，用状态观测器估值形成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行。即K与Ke的设计可分别独立进行。,【例9-29】考虑一个调节器系统的设计
10、。给定线性定常系统为 式中 且闭环极点为 ,其中 期望用观测-状态反馈控制，而不是用真实的状态反馈控制。观测器的期望特征值为,(9-152),试采用手算法和MATLAB确定出相应的状态反馈增益矩阵K和观测器增益矩阵。 解:1. 手算法 假设采用极点配置方法来设计该系统，并使其闭环极点为 ，其中 , 。在此情况下，可得状态反馈增益矩阵K为 采用该状态反馈增益矩阵K，可得控制输入u为 假设采用观测-状态反馈控制替代真实状态反馈控制，即,式中，观测器增益矩阵的特征值选择为 现求观测器增益矩阵。并画出观测-状态反馈控制系统的方块图。再求该控制-观测器的传递函数U(s)/-Y(s)，并画出系统的方块图。
11、 对于由式（(9-152）定义的系统，其特征多项式为,因此 该观测器的期望特征方程为 因此 为了确定观测器增益矩阵，利用式（9-146），则有,式中 因此,(9-153),式(9-153)给出了观测器增益矩阵。观测器的方程由式（9-154）定义，即 由于 所以，式（9-154）为 或,(9-154),控制器-观测器的传递函数为 该系统的方块图如图9-18 所示。 图9-18 观测-状态反馈的系统方块图,装置,设计的观测-状态反馈控制系统的动态特性由下列方程描述。对于系统 对于观测器,作为整体而言，该系统是4阶的，其系统特征方程为 该特征方程也可由图9-18所示的系统的方块图得到。由于闭环传递函
12、数为 则特征方程为 事实上，该系统的特征方程对于状态空间表达式和传递函数表达式是相同的。,求出的状态反馈增益矩阵K为 观测器增益矩阵 为 该系统是4阶的，其特征方程为 通过将期望的闭环极点和期望的观测器极点代入上式，可得,2) matlab方法 如MATLAB Program 4.5和4.6所示，,MATLAB Program 4.5,% - Pole placement and design of observer - % * Design of a control system using pole-placement % technique and state observer. Fir
13、st solve pole-placement % problem * % * Enter matrices A,B,C,and D * A=0 1;20.6 0; B=0;1 C=1 0; D=0; % * Check the rank of the controllability matrix Q * Q=B A*B; Rank(Q) ans= 2,% * Enter the desired characteristic polynomial by % defining the following matrix J and computing poly(J) * J=-1.8+2.4*j
14、0;0 -1.8-2.4*j; Poly(J) ans= 1.000 3.6000 9.0000 % * Enter characteristic polynomial Phi * Phi=polyvalm(poly(J),A); % * State feedback gain matrix K can be given by * K=0 1*inv(Q)*Phi K= 29.6000 3.6000 % * The following program determines the observer matrix Ke * % * Enter the observability matrix R
15、T and check its rank * RT=C A*C; rank(RT) ans= 2,% * Enter the desired characteristic polynomial by defining % the following matrix J0 and entering statement poly(JO) * JO=-8 0;0 -8; Poly(JO) ans= 1 16 64 % * Enter characteristic polynomial Ph * Ph=polyvalm(ply(JO),A); % * The observer gain matrix Ke is obtained from * Ke=Ph*(inv(RT)*0;1 Ke= 16.0000 84.60000,MATLAB Program 4.6,%- Characteristic polynomial -
