统计热力学第一章随手练习解答

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1、1统计热力学第一章随手练习参考解答L.S 1.3.1 用 空间描述一维自由粒子，设容器长度为 ，指出粒子代表点的运动范围、等能面的形式。解：粒子状态代表点的运动范围为 pLx2质量为 粒子其能量为 ，能m2/m量相等的状态代表点构成在2Lx范围内的直线段 。mpL.S 1.3.2 经典二维转子，可以用广义坐标 和广义动量 描述。转子的能量, ,表达式为 ，其中 I 为22(p/sin)/I转子的转动惯量。证明在 空间中等能曲面所包围的相体积为Id)( 28解：由转子能量表达式得12sinIP上式表明在动量空间中能量为 的等能面为椭圆，其两个半轴分别为I2sinI椭圆面积为 。在 空间中能量为s

2、in的等能面所包围的相体积则为220028()dpIsidIL.S 1.3.3 自由的刚性双原子分子与准弹性双原子分子作为经典粒子，其 空间各是多少维？分别写出它们的相体积元和能量表达式。 答：对于刚性双原子分子描述其质心位置需要 3 个坐标，描述其绕质心的转动需要两个坐标，故自由度为 5， 空间应为 10维；其相体积元为dpdpxyzdzyx能量表达式由质心的动能和围绕质心的转动动能两部分组成 222sinIpm)p(zyx准弹性双原子分子自由度为 6， 空间为 12 维；其相体积元为rzyxdpdprdxyz为两原子间的距离。与刚性双原子分子相r比能量表达式中需增加振动的动能和势能 222

3、2/rmpsinII)(rzyx以上表达式中 12122m/Ir L.S 1.3.4 分别指出三维自由粒子下列两个能级的简并度221h/L24h/mL解：对于能级 ，3 个量子数平方相加等1于 1，在 3 个量子数中只能有 1 个取1，总计有 6 个量子态，该能级的简并度为 6；对于能级 ，3 个量子数平方相加等于 4，2在 3 个量子数中只能有一个取 ，其余两2个取 0，总计有 6 个量子态，该能级的简并度也为 6。L.S 1.3.5 三维各向同性谐振子可视为在互相垂直的三个方向上彼此独立的三个线谐振子，其能量可以表示为h)/n(23321nn01,分别指出该振子两个能级 和5/h的简并度。

4、27/h解：前者 ，在 3 个量子数中只能有一n个取 1，其余两个取 0，总计有 3 个量子态，该能级的简并度为 3；后者 ，可有两2n个量子数取 1，另 1 个取 0，或者 1 个量子数取 2，两个量子数取 0，总计可有 6 个量子态，故简并度为 6。L.S 1.3.6 在转子的 空间中，能量为的等能面所包围的相体积为2()I28求转子的态密度。解：因 fg()d()/hId/h28态密度 f/L.S 1.3.7 已知光子的能量与动量的关系为 ,其中 c 为光速，处于同一平动状p态的光子还可处在两个不同的偏振状态，试证明光子的态密度32ch/V8)(g证明：三维自由粒子在动量空间中等能面为半

5、径等于 p 的球面，球的体积为 ，34p/在 空间中等能面包围的相体积334c/V/ddxyz)( zyx 2fh4hg故态密度32c/8)(L.S.1.3.8 理想气体分子彼此间是近独立的。怎样用 空间来描述 N 个单原子分子组成的理想气体系统的微观态？答：每个理想气体分子的状态在 空间中用一个代表点来描述。由 N 个分子组成的理想气体，需用 N 个代表点来描述。L.S.1.3.9 （本题改放在 L.S.1.7.11）L.S.1.3.10 由个全同粒子组成的系统，个体量子态只有两个，系统的微观量子态共有+1 个，试问该系统是由定域子、费密子、玻色子三种粒子中的哪一种组成的？答：由于 N 值是

6、任意的，可以大于 2，由泡利不相容原理可知该系统不可能由费密子组成；如为定域子，将形成 个系统微观N态，故不可能由定域子组成；剩下唯一的可能是由玻色子组成。设两个个体量子态中占据数分别为 N1、N 2，其中 N1可以分别取 0、1、2N，N 2=N-N1，正好组成 N+1 个系统微观态，由此可以肯定系统由玻色子组成。L.S.1.3.11 已知单原子分子理想气体在空间等能面所包围的相体积内所含微观态数为 )!/N(!hmEV)(23求一个能量“薄层” 内所含系统的微观量子态数。若 ,结果如何？/解：能量间隔 内所含系统的微观量子态E数为 3232NN/d()V(m)Eh!若 则该能量薄层中的系统

7、微观E/状态数与能量为 E 的等能面所包围的相体积内的微观状态数相等。L.S.1.3.12 若系统中所含 个粒子中有两种全同非定域粒子,数目分别为 在21N,中所含系统微观态数为何？d答：应为 Nfd!h1212L.S 1.4.1 在一组条件下出现机会均等的事件称为等可能事件。等可能事件的概率P 可由概率的古典定义 P=有利情况/可能情况求得。今有一袋，内装大小、质地完全相同的 12 个小球，其中 5 个红色，4 个绿色，3 个白色，试求摸出一个红球的概率，以及摸出绿球的概率与摸出白球的概率之比。解：由概率的古典定义可知，摸出红球的概率为 5/12。摸出绿球的概率与摸出白球的概率之比为 4：3

8、。L.S 1.4.2 a、 b 两个量子态中占有三个定域子,若各种占据方式都是等可能的,求 a中占有一个粒子，b 中占有两个粒子的概率。若粒子是玻色子情况又如何？解：每个定域子占据量子态都有两种选择，故各种占据方式的总数为 ，a 中占有823一个粒子，b 中占有两个粒子共有 3 种占据方式，其概率为 3/8。如果是玻色子，因为不可识别，各种占据方式的总数只有 4，a 中占有一个粒子，b 中占有两个粒子只有1 种方式，故概率为 1/4。L.S 1.4.3 一个系统可及的状态只有 5 个，其中三个状态中任意出现其一的概率为32/3，其余两个状态中任意出现其一的概率是多少？解：三个状态中任意出现其一

9、的概率与其余两个状态中任意出现其一的概率之和应等于 1，故其余两个状态中任意出现其一的概率应为 1-2/3=1/3。L.S 1.4.4 已知分子自由程介于 xx+dx之间的概率密度为 ,其中 是一个/xAe常数，求归一化常数 A 以及自由程超过2 的概率。解：由归一化条件 10dxe/可以得到 /dxe/A/110自由程超过 2 的概率为 22x/weL.S 1.4.5 已知分子自由程介于之间的概率为 ，计算xd1x/d分子的平均自由程。解：由平均值公式00x/x/e()edL.S 1.4.6 已知粒子能量的概率密度正比于，求粒子的平均能量和能量平方kT/e21的平均值。解：设归一化常数为 A

10、，由平均值公式 320 12003/kT/kTeded 2520 320025314/kT/kTAedAed L.S.1.5.1 1 mol 理想气体在 300K 的恒温下体积发生膨胀,其压强由 2106 Pa 可逆地降低到 10 5 Pa，求气体所作的功。解：将理想气体状态方程 在等温RTPV条件下微分得到 ，代入气体对d外做功的计算公式 )p/ln(/RTPdV000将数值代入即得 J.l.W314723148L.S.1.5.2 在 298K 下，压强 P 在 0 至Pa 之间，测得 1mol 水的体积与压强的810关系为 615247080V.，其中，体积的单位是 ，如果保持温度3m不变

11、，将 1mol 的水从 Pa 加压至 81Pa，求外界所作的功。解：将水的体积与压强的关系表为2cPbaV外界所作的功为2121)cdP(dW)(b31223cPA将数值代入 529(.)J.L.S.1.5.3 一理想弹性物质的物态方程为，使弹性体的长度可20fbT(L)逆等温地从 变为 ,试计算外界所作03/的功。解：外界所作的功为 00323220L/L/WfdbTdL0098322304bTLL.S.1.5.4 一边可移动的矩形线框上,张有液体薄膜,线框可动边受有外力.用此系统证明外界对表面系统的功可以表示为.dAW证：在准静态过程中外力与表面张力平衡，4如果线框边长为 L，则外力为 ，

12、当LF2线框的边移动 时，表面面积的增量为dx2A外力所作的功即为Wd命题得证。L.S.1.5.5 已知电场中能量密度 22/DE其中 为介电常数。若电场和充满电场的电介质都是均匀的，试证明当把电介质与电场作为一个系统来计算时外界做功的表达式为 dVW若只考虑电介质的极化，外界作功的表达式为 PE证：当把电介质与电场作为一个系统时，系统的能量为 ，外界对系统作功2/V等于系统能量的增加，忽略体积变化 ，并注意 EDDEdV)/V(dW2又因 代入上式P0EdV)/(d20由此可见，外界对系统所作的功分为两部分，第一部分是激发电场的功，第二部分是使电介质极化的功。若只考虑电介质的极化，外界作功的

13、表达式即为 PEdVWL.S.1.5.6 已知磁场中能量密度为 22/BH式中 为介质磁导率。若磁场和充满磁场的磁介质都是均匀的，试证明当把磁介质与磁场作为一个系统来计算时外界做功的表达式为 dVW若只考虑介质的磁化，外界做功的表达式为IHdVW0证：当把电介质与电场作为一个系统时，系统的能量为 ，外界对系统作功2/等于系统能量的增加，忽略体积变化 ，并注意 HBBHdV)/V(dW2又因 代入上式I0)Id(HV/Vd020可见，外界对系统所作的功分为两部分，第一部分是激发磁场的功，第二部分是使介质磁化化的功。若只考虑介质的磁化，外界作功的表达式即为 IHdVW0L.S 1.6.1 已知在无

14、外场时，气体分子位置的概率分布为 ,其中 V 为气体的1/体积，试证明分子位置的信息熵为。VlnkS证：因考虑对象为分子位置的信息熵，故该熵的积分仅与位置有关。将 代入熵的表达式1SklndxyzklndxyzllV1L.S 1.6.2 已知气体分子动量的概率分布为 )kTm/p(ex)kTm()p/2223试证明分子动量的信息熵为。23/)ln(S提示:采用动量空间球坐标比较方便。证：因为分子动量的信息熵仅与分子的动量有关，采用动量空间球坐标，令 mkT/a21dpsinlS25dpe)a/ln()/a(k/ 20234p/42k)a/ln(k3232/mTe命题得证。L.S 1.6.3 理

15、想气体分子的位置与动量彼此是独立的，试利用以上两题的结果计算单原子理想气体分子的信息熵。解：根据熵的可加性，单原子理想气体分子的信息熵等于其位置熵与动量熵之和，即 Vln)mkTeln(S/23L.S 1.6.4*如果孤立系统内的两个子系之间用可以移动的平面隔板隔开，试由熵判据导出两个子系已处于热平衡时的力学平衡条件。若不以热平衡为前提，力学平衡条件如何？解：设子系 1 由状态参量 描述，1V,UN其熵为 ；子系 2 由状态参量 描S2,述，其熵为 。因两子系被平面隔板隔开，粒子数 不变，孤立系统的熵为21N, )V,U(S),(S21内能 为定值，体积21U也为定值。因此有V。按照熵判据，两;子系处于平衡时有 1 212210VVUUS(/)(S/)/由此得到 12VV(S)(