《2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.4 等比数列（二） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.4 等比数列（二） （7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解 判断是否成等比数列的方法 知识点一 推广的等比数列的通项公式 an是等比数列，首项为 a1，公比为 q，则 ana1qn1，anamqnm(m，nN*) 思考 1 如何推导 anamqnm? 答案 根据等比数列的通项公式， ana1qn1， ama1qm1， qnm，anamqnm. an am 思考 2 若已知等比数列an中，q3，a33，则 a7_ 答案 243 解析 a7a3q433435243. 知识点二 等比数列的性质 1如果 mnkl，则有 amanakal 2如果 mn2k，则有 amana
2、 2k 3若 m，n，p 成等差数列，则 am，an，ap成等比数列 4在等比数列an中，每隔 k 项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为 等比数列 5如果an，bn均为等比数列，且公比分别为 q1，q2，那么数列，anbn， 1 an ，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2， ，|q1|. bn an 1 q1 q2 q1 6等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首 末两项的积，即 a1ana2an1akank1. 思考 在等比数列an中，_，a5a11_ a3a9 a5 答案 a7 a2 8 解析 由等比数列的性质得 a5a11
3、a . 2 8 a3a9a5a7，a7. a3a9 a5 题型一 等比数列的性质及应用 例 1 (1)在等比数列an中，若 a3a69，a2a4a527，则 a2的值为( ) A2 B3 C4 D9 (2)已知公比为 q 的等比数列an中，a5a9 q，则 a6(a22a6a10)的值为_ 1 2 答案 (1)B (2) 1 4 解析 (1)因为an为等比数列，所以 a3a6a4a59， 又因为 a2a4a527，所以 a23. (2)a5a9 q，a4a8 ， 1 2 1 2 a6(a22a6a10)a6a22a a6a10 2 6 a 2a4a8a . 2 42 8(a4a8) 2 1 4
4、 反思与感悟 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算若按常规解法， 往往是建立 a1，q 的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质 进行整体变换，会起到化繁为简的效果 跟踪训练 1 (1)在等比数列an中，a7a116，a4a145，则等于( ) a20 a10 A. B. 2 3 3 2 C. 或 D 或 2 3 3 2 2 3 3 2 (2)已知数列an是等比数列，且 an0，a2a42a3a5a4a625，那么 a3a5_ 答案 (1)C (2)5 解析 (1)a7a11a4a146， 又 a4a145， 或， a42， a143) a43 a142
5、) q10 或 ， a14 a4 3 2 2 3 q10 或 . a20 a10 3 2 2 3 (2)由 a2a42a3a5a4a625， 即 a 2a3a5a (a3a5)225， 2 32 5 an0，a3a50，a3a55. 题型二 灵活设项求解等比数列 例 2 已知 4 个数成等比数列，其乘积为 1，第 2 项与第 3 项之和为 ，则此 4 个数为 3 2 _ 答案 8，2， 或 ，2，8 1 2 1 8 1 8 1 2 解析 设此 4 个数为 a，aq，aq2，aq3. 则 a4q61， aq(1q) ， 3 2 所以 a2q31，当 a2q31 时，q0，代入式化简可得 q2 q
6、10，此方程无解； 1 4 当 a2q31 时，q0，代入式化简可得 q2q10，解得 q4 或 q . 17 4 1 4 当 q4 时，a ； 1 8 当 q 时，a8. 1 4 所以这 4 个数为 8，2， 或 ，2，8. 1 2 1 8 1 8 1 2 反思与感悟 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三数成等比数列，一般可设为 ，a，aq； a q (2)四数成等比数列，一般可设为，aq，aq3或 a，aq，aq2，aq3，但前一种设法的公比 a q3 a q 为 q2(0)； (3)五数成等比数列，一般可设为，a，aq，aq2. a q2 a q 跟踪训练 2 有四个实数，前三个数依次成
7、等比数列，它们的积是8，后三个数依次成等 差数列，它们的积为80，求出这四个数 解 由题意设此四个数为 ，b，bq，a， b q 则有 b38， 2bqab， ab2q80，) 解得 或 a10， b2， q2 ) a8， b2， q5 2. ) 所以这四个数为 1，2，4，10 或 ，2，5，8. 4 5 题型三 等比数列的实际应用 例 3 为了治理“沙尘暴” ，西部某地区政府经过多年努力，到 2014 年底，将当地沙漠绿化 了 40%，从 2015 年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的 12%被绿化，即改造为绿 洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的 8%又被侵蚀为沙漠，问至少
8、经过几年的绿 化，才能使该地区的绿洲面积超过 50%？(可参考数据 lg 20.3，最后结果精确到整数) 解 设该地区总面积为 1，2014 年底绿化面积为 a1 ，经过 n 年后绿洲面积为 an1，设 2 5 2014 年底沙漠面积为 b1，经过 n 年后沙漠面积为 bn1，则 a1b11，anbn1. 依题意，an1由两部分组成：一部分是原有绿洲 an减去被侵蚀的部分 8%an的剩余面积 92%an，另一部分是新绿化的 12%bn，所以 an192%an12%(1an) an， 4 5 3 25 即 an1 (an )， 3 5 4 5 3 5 a1 ， 3 5 2 5 3 5 1 5 是
9、以 为首项， 为公比的等比数列， an 3 5 1 5 4 5 an ( )( )n1， 3 5 1 5 4 5 an ( )n1， 3 5 1 5 4 5 则 an1 ， 3 5 1 5( 4 5) n an150%， ， 3 5 1 5( 4 5) n 1 2 ，nlog 3. ( 4 5) n 1 2 4 5 1 2 lg 2 13lg 2 则当 n4 时，不等式 恒成立 ( 4 5) n 1 2 所以至少需要 4 年才能使绿化面积超过 50%. 反思与感悟 本题从实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建 立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过
10、程中应注意首项的确 立、时间的推算，不要在运算中出现问题 跟踪训练 3 2015 年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为 16a 和 25a，甲林场木材 存量每年比上年递增 25%，而乙林场木材存量每年比上年递减 20%. (1)问哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)问两林场木材的总量到 2019 年能否翻一番？ 解 (1)由题意可得 16a(125%)n125a(120%)n1， 解得 n2， 故到 2017 年两林场木材的总存量相等 (2)令 n5，则 a516a25a2(16a25a)， ( 5 4) 4 ( 4 5) 4 故到 2019 年不能翻一番 1在正项等比数列an中，an
11、1an，a2a86，a4a65，则等于( ) a5 a7 A. B. 5 6 6 5 C. D. 2 3 3 2 答案 D 解析 设公比为 q，则由等比数列an各项为正数且 an1an知 0q1， 由 a2a86，得 a 6. 2 5 a5，a4a6q5. 6 6 q6 解得 q， . 2 6 a5 a7 1 q2 ( 6 2) 2 3 2 2在等比数列an中，a24，a7，则 a3a6a4a5的值是( ) 1 16 A1 B2 C. D. 1 2 1 4 答案 C 解析 a3a6a4a5a2a74 ， 1 16 1 4 a3a6a4a5 . 1 2 3在正项等比数列an中，3a1， a3，2
12、a2成等差数列，则等于( ) 1 2 a2 016a2 017 a2 014a2 015 A3 或1 B9 或 1 C1 D9 答案 D 解析 由 3a1， a3，2a2成等差数列可得 a33a12a2， 1 2 即 a1q23a12a1q， a10，q22q30. 解得 q3 或 q1(舍) a2 016a2 017 a2 014a2 015 a2 016(1q) a2 014(1q) q29. a2 016 a2 014 4已知数列：4，a，12，b 中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则 b 等于( ) A20 B18 C16 D14 答案 B 解析 由题意可得 2a41216a
13、8，又 1228bb18. 5在 和 8 之间插入 3 个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这 3 个数的积为 1 2 _ 答案 8 解析 设插入的 3 个数依次为 a，b，c，即 ，a，b，c，8 成等比数列，由等比数列的性质 1 2 可得 b2ac 84，因为 a2 b0，b2(舍负)所以这 3 个数的积为 abc428. 1 2 1 2 1.等比数列的性质及其应用 一方面，等比数列的性质要与等差数列的性质对比记忆，加深理解并作区分；另一方面，等 比数列一般运算量大，巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点很重要 2等比数列各项之间可由公比建立关系，在求三、四个数的等比数列问题中，灵活设项解 决等比数列的问题
