《2019高三数学（人教B文）一轮考点规范练：第三章 导数及其应用 16 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高三数学（人教B文）一轮考点规范练：第三章 导数及其应用 16 （12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点规范练考点规范练 16 导数的综合应用导数的综合应用 基础巩固基础巩固 1.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 与 x=1 处都取得极值. 2 3 (1)求 a,b 的值及函数 f(x)的单调区间; (2)若对于 x-1,2,不等式 f(x)1 时,g(x)0; (3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)g(x)在区间(1,+)内恒成立. 3.已知函数 f(x)=aln x(a0),e 为自然对数的底数. (1)若过点 A(2,f(2)的切线斜率为 2,求实数 a 的值; (2)当 x0 时,求证:f(x)a; ( 1 - 1 ) (3)若在区间(1,e)内,1 恒
2、成立,求实数 a 的取值范围. () - 1 4.已知函数 f(x)=sin x-ax,ln 2sin ,ln . 1 2 4 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a=0 时,h(x)=x(ln x-1)-f(x),证明 h(x)存在唯一极值点. 能力提升能力提升 5.已知函数 f(x)=ax2+bx-c-ln x(x0)在 x=1 处取极值,其中 a,b 为常数. (1)若 a0,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在 x=1 处取极值-1-c,且不等式 f(x)-2c2恒成立,求实数 c 的取值范围; (3)若 a0,比较 ln a 与-2b 的大小. 6.设函
3、数 f(x)=x2+bx-aln x. (1)若 x=2 是函数 f(x)的极值点,1 和 x0是函数 f(x)的两个不同零点,且 x0(n,n+1),nN,求 n. (2)若对任意 b-2,-1,都存在 x(1,e),使得 f(x)0. (1)设 g(x)是 f(x)的导函数,讨论 g(x)的单调性; (2)证明:存在 a(0,1),使得 f(x)0 在区间(1,+)内恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+)内有唯一解. 高考预测高考预测 8.已知函数 f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a 为实数). (1)当 a=5 时,求函数 y=g(x)在 x=1 处的切线方
4、程; (2)求 f(x)在区间t,t+2(t0)上的最小值; (3)若方程 g(x)=2exf(x)存在两个不等实根 x1,x2,且 x1,x2,求实数 a 的取值范围. 1 , 参考答案 考点规范练 16 导数的综合应用 1.解(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b. 又 f(x)在 x=- 与 x=1 处都取得极值, 2 3 fa+b=0,f(1)=3+2a+b=0, (- 2 3) = 12 9 4 3 两式联立解得 a=- ,b=-2, 1 2 f(x)=x3- x2-2x+c, 1 2 f(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1), 令 f(x)=0
5、,得 x1=- ,x2=1, 2 3 当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x (- , - 2 3) - 2 3(- 2 3 ,1 ) 1(1,+) f(x)+0-0+ f(x) 极大值 极小值 函数 f(x)的单调递增区间为与(1,+); (- , - 2 3) 单调递减区间为. (- 2 3 ,1 ) (2)f(x)=x3- x2-2x+c,x-1,2, 1 2 当 x=- 时,f+c 为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值, 2 3 (- 2 3) = 22 27 要使 f(x)f(2)=2+c,解得 c2. c 的取值范围为(-,-1)(2,+
6、). 2.(1)解 f(x)=2ax-(x0). 1 = 22 - 1 当 a0 时,f(x)0 时,由 f(x)=0 有 x=. 1 2 当 x时,f(x)0,f(x)单调递增. ( 1 2, + ) (2)证明令 s(x)=ex-1-x,则 s(x)=ex-1-1. 当 x1 时,s(x)0,所以 ex-1x, 从而 g(x)=0. 1 1 - 1 (3)解由(2),当 x1 时,g(x)0. 当 a0,x1 时,f(x)=a(x2-1)-lnxg(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有 a0. 当 01. 1 2 1 2 由(1)有 f0, ( 1 2) ( 1 2) 所以此时 f(x)g
7、(x)在区间(1,+)内不恒成立. 当 a 时,令 h(x)=f(x)-g(x)(x1). 1 2 当 x1 时,h(x)=2ax-e1-xx- 1 + 1 2 1 + 1 2 1 =0. 3- 2 + 1 2 2- 2 + 1 2 因此,h(x)在区间(1,+)内单调递增. 又因为 h(1)=0,所以当 x1 时,h(x)=f(x)-g(x)0,即 f(x)g(x)恒成立. 综上,a. 1 2, + ) 3.(1)解f(x)= ,f(2)= =2,a=4. 2 (2)证明令 g(x)=a, ( - 1 + 1 ) 则 g(x)=a. ( 1 - 1 2) 令 g(x)0,得 x1;g(x)1
8、 在区间(1,e)内恒成立, () - 1 即使-10 在区间(1,e)内恒成立, - 1 即0 在区间(1,e)内恒成立. + 1 - - 1 令 h(x)=alnx+1-x,则 h(x)= -1. 令 h(x)0,解得 xe 时,h(x)在(1,e)内单调递增,所以 h(x)h(1)=0. 当 10,得 sinx-ax0. 0g(1)=sin1,asin1,故 a 的取值范围是(-,sin1). (2)证明h(x)=xlnx-x-cosx, h(x)=lnx+sinx. 当 x1,e时,lnx0,sinx0,h(x)0; 当 x(e,+)时,lnx1,sinx-1,h(x)0; 当 x(0
9、,1)时,令 y=lnx+sinx,则 y= +cosx0, 1 y=lnx+sinx 在(0,1)内单调递增,由 ln2sin ,ln,知 h=ln +sin 0. 1 2 4 0. 综上,当 x(0,x0)时,h(x)0,h(x)在(x0,+)内单调递增; h(x)存在唯一极值点 x=x0. 5.解(1)因为 f(x)=ax2+bx-c-lnx(x0),所以 f(x)=2ax+b- (x0). 1 因为函数 f(x)在 x=1 处取极值,所以 f(1)=2a+b-1=0, 所以 b=1-2a, 所以 f(x)=2ax+1-2a- =(x-1)(x0). 1 ( 1 + 2) 当 a0 时,
10、 +2a0,则当 x(0,1)时,f(x)0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1. (2)由(1)知 f(x)=ax2+(1-2a)x-c-lnx. 因为函数 f(x)在 x=1 处取极值-1-c,所以 f(1)=-a+1-c=-1-c,可得 a=2. 因为 a0,由(1)可知函数 f(x)在区间(1,+)内单调递增,在区间(0,1上单调递减,所以 f(x) min=f(1)=-1-c. 因为不等式 f(x)-2c2恒成立, 所以有-1-c-2c2,解得 c1 或 c- ,所以实数 c 的取值范围是 c1 或 c- . 1 2 1 2 (3)由(1)知 b=
11、1-2a,故 lna-(-2b)=lna-4a+2. 构造函数 g(a)=lna-4a+2,则 g(a)= -4. 1 令 g(a)=0,可得 a= . 1 4 当 a 变化时,g(a),g(a)的变化情况如下表: a ( 0, 1 4) 1 4 ( 1 4, + ) g(a)+0- g(a)单调递增极大值单调递减 所以 g(a)max=g=ln +1=ln 0). x=2 是函数 f(x)的极值点,f(2)=4+b- =0. 2 1 是函数 f(x)的零点,f(1)=1+b=0. 由解得 a=6,b=-1. 4 + - 2 = 0, 1 + = 0, ? f(x)=x2-x-6lnx,f(x
12、)=2x-1- . 6 令 f(x)0,得 x2, f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+)内单调递增. 故函数 f(x)至多有两个零点,其中 1(0,2),x0(2,+). f(2)0,x0(3,4),故 n=3. (2)令 g(b)=xb+x2-alnx,b-2,-1,则 g(b)为关于 b 的一次函数,且为增函数,根据题意,对任意 b-2,-1,都存在 x(1,e),使得 f(x)0,故 (x)在(1,e)内单调递增,(x)(1)=1-a. 当 1-a0,即 a1 时,(x)0,即 h(x)0,h(x)在(1,e)内单调递增, h(x)h(1)=0,不符合题意. 当 1-a1 时,(
13、1)=1-a1,则 (e)a1,则 (e)0,在(1,e)上一定存在实数 m,使得 (m)=0, 在(1,m)内 (x)1 时,对任意 b-2,-1,都存在 x(1,e),使得 f(x)0,(e)=-2f(x0)=0; 当 x(x0,+)时,f(x)0,从而 f(x)f(x0)=0. 所以,当 x(1,+)时,f(x)0. 综上所述,存在 a(0,1),使得 f(x)0 在区间(1,+)内恒成立,且 f(x)=0 在区间(1,+)内有唯一 解. 8.解(1)因为当 a=5 时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,所以 g(1)=e,g(x)=(-x2+3x+2)ex. 所以切线的斜率为 g(1
14、)=4e. 所以所求切线方程为 y-e=4e(x-1),即 y=4ex-3e. (2)f(x)=lnx+1,令 f(x)=0,得 x= . 1 当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x ( 0, 1 ) 1 ( 1 , + ) f(x)-0+ f(x)单调递减极小值(最小值)单调递增 当 t 时,f(x)在区间t,t+2上为增函数,所以f(x)min=f(t)=tlnt. 1 当 0t 时,f(x)在区间内为减函数,在区间上为增函数,所以f(x)min=f=- . 1 , 1 ) ( 1 , + 2 ( 1 ) 1 (3)由 g(x)=2exf(x),可得 2xlnx=-x2+ax-3. 所以 a=x+2lnx+ . 3 令 h(x)=x+2lnx+ , 3 则 h(x)=1+. 2 3 2 = ( + 3)( - 1) 2 当 x 变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表: x ( 1 ,1 ) 1(1,e) h(x)-0+ h(x)单调递减极小值(最小值)单调递增 因为 h+3e-2,h(1)=4,h(e)= +e+2, ( 1 ) = 1 3 所以 h(e)-h=4-2e+ 0. ( 1 ) 2 所以方程 g(x)=2exf(x)存在两个不等实根时,实数 a 的取值范围为 4ae+2+ . 3
