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1、4.4 实对称矩阵的对角化,一、 实对称矩阵的性质,二、用正交矩阵使实对称矩阵对,第四章 特征值与特征向量,角化的方法,三、小结,一、实对称矩阵的性质,定理1 实对称矩阵的特征值都是实数.,证明 设 为 阶实对称矩阵，则有,设 为 的任一特征值， 为 的属于特征值 的特征向量，即,两端取共轭，有,其中,故有,两端取转置，得,两端右乘 ，得,（2）,（1）式两端左乘 ，得,（3）,（2）与（3）相减，得,由于,，故,，于是有,即,，,则,为实数.,定理2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.,证明 设,为实对称矩阵，,是,的两个不同的特征,值，,是相应的特征向量，于是,由于,为实对称矩阵，
2、故,于是,即,而,，故,，即,与,正交.,例如，,为实对称矩阵，其中,为属于特征值,的特征向量；,为属于特,征值,的特征向量，显然,即,与,正交.,定理3 设,为实对称矩阵的,重的特征值，则矩阵,的秩,从而恰好有,个属于特,征值,的线性无关的特征向量.,解 由于,为实对称矩阵,所以必可以对角化.,故,的特征值为,例1 试将矩阵,对角化,得基础解系为,对于,，求解齐次线性方程组,对于,，求解齐次线性方程组,得基础解系为,取,有,定理4 设,为,阶实对称矩阵，则存在正交矩阵,，,使得,其中,为,的特征值.,二、用正交矩阵使实对称矩阵对角化的方法,用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤:,（1）求出特征
3、方程,的全部实特征值；,（2）对每一个,重的特征值,，解齐次线性方程组,，得到,个线性无关的特征向量；,阵,的列向量，则,为所求正交矩阵；,（5）,为对角矩阵，其主对角线上的元素为A,的全部特征值，它的排列顺序与,中正交单位,向量的排列顺序相对应.,（3）利用施密特正交化方法，把属于,的,个线性,无关的特征向量正交化，再单位化；,（4）将总共得到的,个单位正交特征向量作为矩,例2 用正交矩阵将例1中的矩阵对角化.,解 在例1中已经求出矩阵,的特征值为,，对应的特征向量为,利用施密特正交化方法将,与,正交化，得,再单位化，得,将,单位化，得,以单位正交向量,为列得正交矩阵,使得,1.实对称矩阵的
4、性质,（1）特征值必为实数；,（2）属于不同特征值的特征向量正交；,（3） 重特征值恰有 个线性无关的特征向量；,（4）可用正交矩阵对角化.,2.用正交矩阵使实对称矩阵对角化的方法,小结,1.预备知识,2.特征值与特征向量,本章小结,(1) 特征值的定义与求法；,(2) 特征向量的定义与求法；,(3) 特征值与特征向量的性质.,属于不同特征值的特征向量线性无关;,重特征值至多有 个线性无关的特征向量;,3.相似矩阵,(1) 相似矩阵的定义；,(2) 相似矩阵的性质；,(3) 矩阵可相似对角化的条件:,有 个线性无关的特征向量（充要条件）；,有 个不同的特征值（充分条件）；,（充要条件）,是实对称矩阵.,4.实对称矩阵的性质,（1）特征值必为实数；,（2）属于不同特征值的特征向量正交；,（3） 重特征值恰有 个线性无关的特征向量；,（4）可用正交矩阵对角化.,
