2.3 2.3 等差数列的等差数列的 前前N N项和（一）项和（一） 复习引入复习引入1. 等差数列定义：等差数列定义： 即即an－－an－－1 ＝＝d (n≥2).2. 等差数列通项公式：等差数列通项公式： (1) an＝＝a1＋＋(n－－1)d (n≥1).(2) an＝＝am＋＋(n－－m)d .(3) an＝＝pn＋＋q (p、、q是常数是常数) 复习引入复习引入3. 几种计算公差几种计算公差d的方法的方法: 复习引入复习引入4. 等差中项等差中项成等差数列成等差数列. m＋＋n＝＝p＋＋q am＋＋an＝＝ap＋＋aq. (m，，n，，p，，q∈∈N)5. 等差数列的性质等差数列的性质 6．等差数列的性．等差数列的性质：： •对于等差数列于等差数列，，•为递增数列，增数列，•为常数数列；常数数列；•为递减数列，减数列，•等差数列中无先增后减或先减后增数列等差数列中无先增后减或先减后增数列,要么要么单调要么常数数列。
要么常数数列7. 等差数列等差数列中中,间隔等距离取出的隔等距离取出的项组成的成的‘‘新数列仍新数列仍为等差数列，即：等差数列，即：组成公差成公差为md的等差数列的等差数列. 8.判断等差数列的方法:1）、）、(定义法定义法)利用利用an-an-1是否是一个与是否是一个与n无关的常数无关的常数2）、）、(中项公式法中项公式法)判断判断an与与an+1+an-1的关系的关系3、、(通项公式法通项公式法)判断判断an=pn+q(p、、q为常数为常数) 复习引入复习引入9. 数列的前数列的前n项项和：和： 称为数列称为数列{a{an n} }的前的前n n项和，记作项和，记作S Sn n，那么，那么S Sn n－－1 1表示什么？表示什么？a an n，，S Sn n，，S Sn n－－1 1三者之间有什么关系？三者之间有什么关系？ 10.10.数列的通项公式能反映数列的数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前求数列的前n n项和项和. .对于等差数列，对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题和公式，这是一个有待研究的课题. .复习引入复习引入 高斯（高斯（Gauss,1777—1855），），德国著名数学家，他研究的内德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为的巨星，被誉为“数学王子数学王子”. 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的现了一个堆放铅笔的V形架，形架，V形架的最下面一层放形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一都比它下面一层多放一支，最上面一层放支，最上面一层放100支支.老师问：高斯，你知道这老师问：高斯，你知道这个个V形架上共放着多少支铅笔吗？形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景创设情景问题就是：问题就是：计算计算1＋＋ 2＋＋ 3 ＋＋… ＋＋ 99 ＋＋ 100 高斯的算法高斯的算法计算：计算： 1＋＋ 2＋＋ 3 ＋＋… ＋＋ 99 ＋＋ 100 高高斯斯算算法法的的高高明明之之处处在在于于他他发发现现这这100100个数可以分为个数可以分为5050组：组： 第一个数与最后一个数一组；第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组；第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…… 每每组组数数的的和和均均相相等等，，都都等等于于101101，，5050个个101101就就等等于于50505050了了。
高高斯斯算算法法将将加加法法问问题题转转化为乘法运算，迅速准确得到了结果化为乘法运算，迅速准确得到了结果. .首尾首尾配对配对相加相加法法中间的一中间的一组数是什组数是什么呢？么呢？ 若若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层一层都比它下面一层多放一支，最上面多放一支，最上面一层有很多支铅笔，一层有很多支铅笔，老师说有老师说有n支问：这个这个V形架上共放形架上共放着多少支铅笔？着多少支铅笔？创设情景创设情景问题就是：问题就是：1＋＋ 2＋＋ 3 ＋＋… ＋＋ (n-1) ＋＋ n若用首尾配对相加法，需要分类讨论若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形三角形平行四平行四边形边形 n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1倒序相加法倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前前n项和项和呢？前前n项和项和分析：这分析：这其实是求其实是求一个具体一个具体的等差数的等差数列前列前n项项和和.①①②② 问题分析问题分析已知等差数列｛已知等差数列｛ an ｝的首项为｝的首项为a1，项数，项数是是n，第，第n项为项为an，，求前求前n项和项和Sn . .如何才能将如何才能将等式的右边等式的右边化简？化简？①①②② 求和公式求和公式等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字语言；）公式的文字语言； （（2）公式的特点；）公式的特点；不含不含d可知三可知三求一求一等差数列的等差数列的前前n项和等项和等于于首末两项首末两项的和与项数的和与项数乘积的一半乘积的一半。
想想一一想想 在等差数列在等差数列在等差数列在等差数列 {a{an n} } 中，如果已知五个中，如果已知五个中，如果已知五个中，如果已知五个元素元素元素元素 a a1 1, a, an n, n, d, S, n, d, Sn n 中的任意三个中的任意三个中的任意三个中的任意三个, , 请问请问请问请问: : 能否求出其余两个量能否求出其余两个量能否求出其余两个量能否求出其余两个量 ? ?结论：知结论：知结论：知结论：知 三三三三 求求求求 二二二二 公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.na1an 公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形将图形分割成一个平行四边形和一个三角形. 公式应用公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=－2，n=505002550 例例1 1、、计算算（（1 1）） 5+6+7+…+79+80（（2 2）） 1+3+5+1+3+5+…+ +（（2 2n-1-1））（（3 3））1-2+3-4+5-6+1-2+3-4+5-6+…+ +（（2 2n-1-1））-2-2n-n例题讲解例题讲解n23230提示：提示：n=76法二：法二： 例例2 2 在等差数列在等差数列{a{an n} }中，中， 已知已知 ，，求求S S7.7.例题讲解例题讲解 例题讲解例题讲解 例例3 3、、20002000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了《《关于在中小关于在中小学实施学实施““校校通校校通””工程的通知工程的通知》》，某市据此提出了实，某市据此提出了实施施““校校通校校通””工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。
据测算，间，在全市中小学建成不同标准的校园网据测算，20012001年该市用于年该市用于““校校通校校通””工程的经费为工程的经费为500500万元为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加上一年增加5050万元那么，从万元那么，从20012001年起的未来年起的未来1010年内，年内，该市在该市在““校校通校校通””工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？分析：分析：①①找关键句；找关键句；②②求什么，如何求；求什么，如何求；解：由题意，该市在解：由题意，该市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的资金构成等差数列的资金构成等差数列{an}，且，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来故，该市在未来10年内的总投入为：年内的总投入为：答答 变式练习变式练习 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺块，往下每一层多铺1块，块，斜面上铺了斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列片数构成等差数列{an}，且，且a1=21，，d=1，，n=19.于是，屋顶斜面共铺瓦片：于是，屋顶斜面共铺瓦片：答：屋顶斜面共铺瓦片答：屋顶斜面共铺瓦片570块块. 课堂练习课堂练习答案答案: 27练习练习1、、练习练习2、、等差数列－10，－6，－2，2，…的前______项的和为54？答案答案: n=9，或，或n=-3（舍去）（舍去）仍是仍是知三知三求一求一 练习3 已知一个共有已知一个共有n项的等差数的等差数列前列前4项之和之和为26,末四末四项之和之和为110,且所有且所有项的和的和为187，求，求n.课堂练习课堂练习 知识打包知识打包 存放备用存放备用an=a1+(n-1)d对于对于Sn、、an 、、a1、、n、、d 五个量，五个量，“知三求二知三求二”.方程方程(组组)思想思想(待定系数法待定系数法)倒序求和法倒序求和法 掌握与应用掌握与应用 课堂小结课堂小结 1 1．等差数列前．等差数列前n n项和的公式；项和的公式； 2 2．等差数列前．等差数列前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法——倒序相加法；倒序相加法； 3.3.在两个求和公式中在两个求和公式中,各有五个元素各有五个元素,只要只要知道其中三个元素知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另结合通项公式就可求出另两个元素两个元素.上页上页下页下页（两个）（两个） 。