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1、第二章 平面力系,第一节 力系的分类和特征,力系按照作用线的分布情况可以分为平面力系和空间力系。 若力系中各力的作用线在同一平面内，该力系称为平面力系。如图所示。,第一节 力系的分类和特征,平面力系又可以分为平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系和平面力偶系。平面汇交力系是指力系中所有力的作用线汇交于一点的平面力系，如图所示。,第一节 力系的分类和特征,平面一般力系是指力系中所有力的作用线既 不汇交于一点也不相互平行的平面力系，如图所示。,第一节 力系的分类和特征,若力系中各力的作用线不在同一平面内，该力系称为空间力系，如图所示。同样，空间力系也可以分为空间汇交力系、空间平行力系和空间一般力
2、系。,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,如图所示，设在某刚体上作用有力F1、F2、F3、F4组成的平面汇交力系，各力的 作用线交于点A。用矢量式表示为 FR=F1+F2+F3+F4,作图时，虚线ac和ad不必画出，只需把各力矢首尾相连，得折线abcde，则第一个力矢F1的起点a向最后一个力矢F4的终点e作ae，即得合力矢FR。,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,上述方法可以推广到由n个力F1 ，F2，Fn组成的平面汇交力系。于是可以得出结论: 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线过力系的汇交点，大小等于原力系中所
3、 有各分力的矢量和。用FR表示它们的合力矢，则有,同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图所示，已知三钢索的拉力分别为:F1=500 N，F2=1 000 N，F3 =2 000 N。试用几何作图法求三根钢索作用在环 上的合力。,例2.1,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,先定力的比例尺。作力的多边形先将各分力除以比例尺得到各力作用线的长度， 然后作出力多边形图，量得代表合力矢的长度为2 839 N，则FR的实际值为 FR=2839 N FR的方向可由力的多边形图直接量出，FR与F1的夹角为8013。,解题,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力
4、系合成与平衡的几何法,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,平面汇交力系平衡的充分和必要条件是: 该力系的合力等于零。用矢量表示，即,平面汇交力系平衡的充分与必要的几何条件是:力的多边形自行封闭。 求解平面汇交力系的平衡问题时可用图解法，即按比例先画出封闭的力多边形，然后用 尺和量角器在图上量得所要求的未知量;也可根据图形的几何关系，用三角公式计算出所要求的未知量，这种解题方法称为几何法。,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,支架ABC由横杆AB与支撑杆BC组成，如图所示。A、B、C处均为铰 链连接，B端悬挂重物，其重力W=5
5、kN，杆重不计，试求两杆所受的力。,例2.2,(1)选择研究对象，以销钉B为研究对象。 (2)受力分析，画受力图。 (3)根据平衡几何条件求出未知力。,解题,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,由平衡几何关系求得,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,起重机吊起的减速箱盖重力W=900 N，两根钢丝绳AB和AC与铅垂线的夹角分别为=45，=30。如图所示，试求箱盖匀速吊起时，钢丝绳AB和AC的张力。,例2.3,(1)选取箱盖为研究对象。 (2)画箱盖的受力图。 (3)应用平衡几何条件，求出未知力。,解题,第二节 平面汇交力系的合
6、成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,若力三角形的几何关系不复杂，可运用三角公式来计算。例如在本题中，由正弦定理得,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,可总结出几何法的解题步骤如下: (1)选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象，并画出简图; (2)受力分析，画受力图。在研究对象上，画出它所受的全部已知力和未知力（包括约束 反力）; (3)作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系的封闭力多边形或封闭力 三角形。必须注意，作图时总是从已知力开始。根据矢序规则和
7、封闭特点，就可以确定未知力 的指向; (4)求出未知量。按比例确定未知量，或用三角公式计算。,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,二、平面汇交力系合成与平衡的解析法,若已知力F的大小和它与x轴间的夹角(取锐角)，则力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy分别为 力的投影为代数量，它的正负号规定如下:若由a到b(或a到b)的指向与坐标轴的正 向一致时，力的投影为正值;反之，为负值。,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,二、平面汇交力系合成与平衡的解析法,设一平面汇交力系由F1、F2、F3和F4作用于刚体上，其力的多边形ABCDE如图所示，封闭边AE表示该力系 的合力矢 FR，在力的多边形所在平面内取一坐标
8、系Oxy，将 所有的力矢都投影到x轴上，得,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,二、平面汇交力系合成与平衡的解析法,由上图可知,即平面汇交力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,二、平面汇交力系合成与平衡的解析法,设由n个力组成的平面汇交力系作用在一个刚体上，以汇交点O作为坐标原点，建立直 角坐标系Oxy，根据合力投影定理，此汇交力系的合力 FR的方向由Fx和Fy的正负号 确定，其中是合力FR与x轴正向所夹的锐角。,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,求图所示的平面共点力系的合力。,例
9、2.4,解题,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,合力FR为：,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,平面汇交力系平衡的充分和必要条件是:该力系的合力FR等于零。由式应有,式表明， 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是各力在两个坐标轴上投影的代 数和为零。式称为平面汇交力系平衡的解析条件，也称为平面汇交力系的平衡方程。,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,G=20 kN的物体被绞车匀速吊起，绞车的绳子绕过光滑的定滑轮A，滑轮由不计质量的杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链。试求杆AB、杆A
10、C所受的力。,例2.5,解题,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,(1)确定研究对象。由于AB、AC两杆都是二力杆，假设杆AB和杆AC都受拉力。 (2)画受力图。由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是汇交力系。 (3)列平衡方程。为使某个未知力只在一个轴上有投影，即在另外一个轴上的投影为零，坐标轴应尽量取在与未知力作用线垂直的方向。这样一个平 衡方程中只有一个未知数，可不必解联立方程组。,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,压榨机的结构简图如图所示，在铰
11、链A作用了一水平力F使滑块C压紧物体D，若不计杆AB、AC的重力和各处的摩擦，求物体D所受的压力。,例2.6,解题,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,由作用力与反作用力定律，求物体D所受的压力，可通过求物体D对滑块C的约束反力ND得到，而欲求滑块C所受的力ND，则需先确定AC所受的力。 (1)先选铰链A为研究对象。 (2)AC杆是铰链A和滑块C联系的“桥梁”，故再选AC为研究对象，画AC杆的受力图。 (3)最后选取滑块C为研究对象，画滑块C的受力图。,第二节 平面汇交力系的合成与平衡,一、平面汇交力系合成与平衡的几何法,归纳出平面汇交力系平衡方程应用的主要步
12、骤和注意事项如下: (1)选择研究对象时应注意:所选择的研究对象应作用有已知力(或已经求出的力) 和未知力，这样才能应用平衡条件由已知力求得未知力;先以受力简单并能由已知力求 得未知力的物体作为研究对象，然后再以受力较为复杂的物体作为研究对象。 (2)取隔离体，画受力图。 (3)选取坐标系，计算力系中所有的力在坐标轴上的投影。 (4)列平衡方程，求解未知量。,第三节 力 矩,一、力对点的矩,将Fd的乘积定义为力使物体对点O产生转动 效应的度量，称为力 F对点O的矩，简称力矩，用符号MO(F)表示， 记为 MO(F) =Fd 式中，O点称为力矩中心，简称矩心;d称为力臂;乘积Fd为力矩的大小;符
13、号“”表示力矩 的转向，规定在平面问题中，逆时针转向的力矩取正号，顺时针转向的力矩取负号。,第三节 力 矩,一、力对点的矩,力矩的单位常用 Nm或kNm。 应当注意:一般来说，同一个力对不同点产生的力矩是不同的，因此不指明矩心而求力 矩是无任何意义的。在表示力矩时，必须标明矩心。由上图可见，力F对O点矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，即 MO(F) =2SOAB 力矩有以下几个性质: (1)力F对O点的矩不仅取决于F的大小，同时还与矩心的位置即力臂d有关。 (2)力F对于任一点的矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 (3)力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力矩等于零。,
14、第三节 力 矩,二、合力矩定理,定理 平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩 等于所有各分力对同一点矩的代数和。,证明 设刚体上的A点作用着一平面汇交力系。力系的合力FR。在力系所在平面内任选一点O，过O作Oy轴，且垂直于OA。如图所示。,第三节 力 矩,二、合力矩定理,作用于齿轮上的啮合力Fn=1 000 N，齿轮节圆直径D=160 mm，压力角(啮合力与齿轮节圆切线间的夹角)=20，如图所示。求啮合力Fn对轮心点O的矩。,例2.7,第三节 力 矩,二、合力矩定理,解法一,用力矩定义式计算Fn对点O之矩，即,第三节 力 矩,解法二,用合力矩定理式计算Fn对点O之矩，如图所示，将啮合力Fn在齿
15、轮啮合点处分解为圆周力Ft和径向力Fr，则Ft=Fncos，Fr=Fnsin，由合力矩定理可得,二、合力矩定理,第四节 力 偶,一、力偶的概念,在力学中把这样一对等值、反向且不共线的平行力称为力偶， 用符号(F，F) 表示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。,第四节 力 偶,一、力偶的概念,有力偶(F，F)，其力偶臂为d，如图所示。力偶对点O的矩为MO (F，F)，则,力偶的作用效果取决于力的大小和力偶臂的长短，与矩心的位置无关。力与力偶臂的乘积称为力偶矩， 记作M (F，F) ，简记为M。 力偶在平面内的转向不同，作用效果也不同。因此，力偶对物体
16、的作用效果由两个因素 决定:(1)力偶的大小;(2)力偶在作用平面内的转向。 若把力偶矩视为代数量，就可以包括这两个因素，即 M (F，F) =Fd,第四节 力 偶,二、同平面内力偶的等效定理,定理 在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。,推论: (1)任一力偶可以在它的作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。因此，力偶对 刚体的作用与其在作用面内的位置无关。 (2)只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶 臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。可用如图所示表示力偶。,第四节 力 偶,三、力偶的性质,力和力偶是静力学的两个基本要素。力偶与力具有不同的性质: (1)力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。 (2)力偶在任何坐标轴上投影的代数和为零。 (3)力偶对其作用在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。,第五节 平面力偶系的合成与平衡,一、平面力偶系的合成,设在同一平面内有两个力偶(F1，F
