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1、第四篇 概率与数理统计4.1.1 随机事件及概率计算教学目的：理解概率的概念，具有运用概率的加法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式分析问题和解决问题的能力。内 容：1、随机事件2、随机事件的概率 3、概率的加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式教学重点：古典概型，概率的计算公式教学难点：乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式教 具：多媒体课件教学方法：精讲，多练教学过程：1、引入新课： 随机事件是概率论中的一个基本概念，也是概率论的主要研究对象。由研究随机事件可能性大小引出随机事件的概率的定义及概率基本计算公式。2、教学内容：一、随机试验与随机事件1、随机现象确定性现象：在标准大气压下，纯水
2、加热到100，水必然会沸腾。生铁放在室温下，生铁必定不能熔化。这类现象的特点是：在一定条件下，事先可以断言必然会发生某种结果。随机现象：往桌子上掷一枚硬币，正面向上或反面向上。从含有10个次品的一批产品中任意抽取4件，次品件数可能是0，1，2，3，4。这一类现象的特点是：在一定条件下，事先不能断言会出现哪种结果。2、随机试验与随机事件我们把对随机现象的一次观察，叫做一次随机试验（简称试验）。随机试验需满足以下三个条件：（1） 试验可以在相同条件下重复进行；（2） 试验的所有可能结果在试验前是可知的；（3） 每次试验都发生可能结果中的一个，但是试验之前不能肯定会发生哪一个结果。随机事件：包括基本
3、事件和复合事件。一般用大写字母A,B,C,表示。基本事件：在随机试验中，不能分解的结果称为基本事件（或样本点），一般用表示。样本空间（基本事件空间）:一个试验的所有基本事件构成的集合。一般用或表示。例如，如投一颗骰子，可能出现的点数为1点，2点，3点，4点，5点，6点，。复合事件：由两个或两个以上的基本事件组成。 不可能事件：在每次试验中都不能发生的事件。一般记作。必然事件：在每次试验中必然发生的事件。一般用表示。 必然事件和不可能事件可以看作随机事件的特例。【例1】 写出“连续三次掷一枚硬币”试验的所有基本事件。解：所有基本事件为 （正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），
4、（反正反），（反反正），（反反反）二、随机事件的关系与运算1、事件的包含如果事件发生必然导致事件发生，则称事件包含事件，或称事件包含于事件。记作：（或） 例如：在产品抽样检查中，表示“取到两件次品”， 表示“至少取到一件次品”，则。 从基本事件来说，也就是中的基本事件都属于。 如果事件且，则称事件与相等，记作。这时与的基本事件完全相同。 例如 掷一颗骰子，表示“出现点”，表示“出现的点数小于”，则2、事件的和（并）两个事件、中至少一个发生，是一个事件，即“或”，称为事件与的和（或并），记作+（或），从基本事件来看，的基本事件就是与的全部基本事件。 例如：投两枚硬币，“恰好一个正面向上”， “恰
5、好两个正面向上”， “至少一个正面向上”，则3、事件的积（交）两个事件、同时发生，是一个事件，即“且”，称为事件与的积（交）。记作 例如：甲、乙两人射击一目标，当两人同时击中时，目标被击毁，设“甲击中目标”， “乙击中目标”， “目标被击毁”，则。从基本事件来说，的基本事件就是属于且属于的全部基本事件。 事件的和与积的概念可以推广到个事件上来。4、互不相容事件（或互斥事件）如果事件与不能同时发生，即，称事件与互不相容（或互斥）。此时事件与没有公共的基本事件。显然，两个基本事件不能同时发生，所以任何两个基本事件都是互不相容事件。 例如 掷一颗骰子，“出现的点数小于”， “出现的点数大于”，则，与
6、互不相容。若事件两两互不相容，则称这组事件互不相容。5、对立事件（或互逆事件）若事件与不能同时发生，也不能同时不发生，即每次试验中有且仅有一个发生，则称与为对立事件（或互逆事件）事件的对立事件（逆事件）记作。显然 ，【例2】 指出下列各事件的对立事件： （）投掷一枚硬币，“出现正面” （）在含有个次品的个产品中任取个，“至少有个次品” （）甲、乙两队进行乒乓球比赛，“甲胜” （）甲、乙两队进行象棋比赛，“甲胜”解：（）“出现反面”（）“全是正品” （）“乙胜” （）“甲不胜”“ 乙胜或和棋”。6、完备事件组若事件互不相容，且，则称构成了一个完备事件组。 例如：在含有个次品的个产品中任取个，设“
7、全是正品”，“恰有件正品”，“恰有件正品”，则构成完备事件组。事件之间的关系及运算可用下面图形来表示： 三、随机事件的概率1、概率的古典定义 古典概型是具有下列特征的随机试验： （1）有限性：每次试验，只有有限种可能的试验结果，或者说组成试验的基本事件总数为有限个。 （2）等可能性：每次试验中，各基本事件出现的可能性是相同的。定义1 如果某试验结果一共有个基本事件，这些事件出现的机会相等，而事件由其中个基本事件组成，那么事件的概率是： =这里叫做等可能基本事件组（或等可能完备事件组）。【例3】 盒子中有10个相同的球，分别标有号码。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。解：令“所取球的号码为
8、偶数”， “所取球的号码为i”(i=),则 即基本事件总数10。显然，所以A中含有基本事件数5，从而=【例4】 袋中有7个白球，3个红球，从中任取3个，求恰好都是白球的概率。解：从10个球中任取3 个，共有种取法，故基本事件总数为。取出3个球恰好都是白球，一定要从7个白球中取，共有种取法，故组成事件的基本事件数为，则 【例5】 一批产品共200个，其中有6个废品，求（1）这批产品的废品率；（2）任取3 个恰好有1个废品的概率；（3）任取3个全不是废品的概率。解：设，分别表示（1），（2），（3）所求的概率，则：（1）（2）（3）【例6】 两封信随机地投向四个信筒，求第二个信筒恰好投入一封信的概
9、率。解：设表示“第二个信筒只投入一封信”，则，2、概率的统计定义定义2 如果事件在N次重复试验中发生了次，则称为事件发生的频数，称为事件发生的频率，记作。频率具有如下性质：(1) (2) (3) 当试验次数较大时，频率稳定在一个确定的常数附近，而且随着试验次数的增加，这种稳定性越来越明显，于是有如下定义：定义3 在相同的条件下进行大量重复试验，如果随机事件发生的频率稳定地在某一常数P附近波动，并且越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件的概率。记作。四、概率的加法公式1、互不相容事件概率的加法公式加法公式1：两个互不相容事件之和的概率等于它们概率的和。即如果、互不相容，那么几个重要结论： （1）若
10、个事件，两两互不相容，那么（2）如果个事件，构成一个完备事件组，则它们的概率和为1，即特别地，如果，即，该公式称为逆事件概率公式。【例7】 袋中有12个球，其中7个白球5个红球，任取3个，求至少有1个红球的概率。解法1 设=“至少有1 个红球” =“恰好有1 个红球” =“恰好有2个红球” =“恰好有3个红球”则，且，互不相容，由可加性公式有 而 于是 =0.477+0.318+0.045=0.84解法2 用逆事件概率公式计算设 =“至少有1个红球”，则=“全是白球”2、任意事件概率的加法公式加法公式2： 对任意两个事件,有【例8】 某贸易公司与甲乙两厂签订某物资长期供货关系，根据以往的统计，
11、甲厂能按时供货的概率为0.85，乙厂能按时供货的概率为0.78，两厂都能按时供货的概率为0.65，求至少有一厂能按时供货的概率。解：设“甲厂能按时供货”“乙厂能按时供货”则有“甲乙两厂都能按时供货”“至少有一厂能按时供货” =0.98五、独立事件 条件概率与乘法公式1、事件的独立性定义4 如果事件A的发生与否不影响事件B发生的可能性，那么称事件A与事件B相互独立。定理1 两个事件A与B相互独立的充要条件是定义5 如果个事件，中任何一个事件的概率都不受其他个事件发生与否的影响，那么称事件，相互独立。定理2 一组事件，相互独立的充要条件是【例9】 某机械零件加工需要两道工序，第一道工序的废品率为0
12、.015，第二道工序的废品率为0.02，假设两道工序出废品是彼此无关的，求产品的合格率。解：设“第一道工序合格” “第二道工序合格” “产品合格”，则 ，由题意，与相互独立，所以 即产品的合格率为。2、条件概率与乘法公式定义6 在事件已经发生的条件下，事件发生的概率称为在发生下的条件概率，记作。注意 还是在一定条件下发生的概率，只是它的条件除原来的以外，又附加了一个条件已经发生。【例10】 全班100名学生中，有男生（记作）80人，女生20人；来自北京的（记作）有40人，其中女生8人，男生32人；免修英语的（记作）20人中有8名女生，12名男生。试写出。解：依题意，有 从上例可以看到 定理3
13、两个事件与积的概率，等于其中任一事件的概率乘以另一事件在前一事件发生下的条件概率，即 该公式称为概率的乘法公式。 事件与事件相互独立，当且仅当。【例11】 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，问从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率是多少。解：设“买一个灯泡是甲厂生产的” “买一个灯泡是合格品” “从市场上买一个灯泡是甲厂生产的合格品” 由乘法公式知【例12】 一批零件共100个，其中有10个次品，每次任取1个，取后不放回，求第二次才取到次品的概率。解：设“第一次取出正品”，“第二次取到次品”则所求概率为【例13】 关于某产品的检验方案是这样规定的：在批量为100件的一批产品中，任取一件来检验，如果是废品，就认为该批产品不合格，如果是正品，则再抽检一件；如果是废品，就认为该批产品不合格，如果是正品，则再抽检一件；如此进行最多4次，每次抽过的产品不放回，如果连续查4件产品都是正品，则认为产品合格而接受；假定一批产品中5%是废品，问这批产品被拒收的概率是多少。解：“这批产品被拒收”“第次抽得合格品”（），则 即100次检验几乎有81次被接受。六、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式定理4 若是完备事件组，则对任意事件，都有 这个公式叫做全概率公式。特别地，对立事件与
