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1、2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1从名男生和2名女生中，任选2人参加英语口语比赛，若2人中至少有1名男生的概率为，则的值为 ( )A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】.2将向量按向量平移得到向量，则 ( )A B C5 D【答案】C【解析】由向量平移的不变性可知，.3对任意,下列不等式正确的是 ( )A BC D【答案】C【解析】取，由知A错误； 取，由知B错误；取，由知D错误；由知C正确.4在中，若为锐角，则实数的取值范围是( )A BC D【答案】D【解析】为锐角，且A、B、C三点不共线，解得.5已知函数满足，则的值为 (
2、 )A3 B2 C1 D【答案】C【解析】的周期由已知条件，可求得，故【另解】由，联想到两角和的正切公式，设，则有，则，故6已知，则函数的最小值是 ( )A BC D【答案】D【解析】，当时，当时，.7已知为的最小内角，若向量，则的取值范围是 ( )A B C D【答案】C【解析】，.8已知函数，则的图像的交点个数为 ( )A1个 B2个 C3个 D无数个【答案】A【解析】 ，从而的图像只有一个交点.【另解】，构造函数，则在上单调递增，从而，从而的图像只有一个交点.9定义，则的值为 ( )A B1CD89【答案】B【解析】.10若函数在定义域内满足，有以下命题：函数可以为一次函数；函数的最小正
3、周期一定为6；若函数为奇函数且，则在区间上至少有11个零点；若且，则当且仅当时，函数满足已知条件.其中错误的是 ( )A BCD【答案】D【解析】由，可得， ，的周期.而一次函数没有周期，从而错误；若，则的周期为任意非零实数，从而错误；对于，又为奇函数，所以在区间上至少有11个解，从而正确；开 始是(11题图)结 束否对于，当时，函数也符合已知条件，从而错误.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分。11如图执行右面的程序框图，那么输出的值为 【答案】【解析】.12函数的值域是 【答案】【解析】由函数得：当x的终边落在第一象限时,有f (x)=sin2x(0,1；当x的终边落在第二象限
4、时,有f (x)=0；当x的终边落在第三象限时,有f (x)=sin2x1,0)；当x的终边落在第四象限时,有f (x)=0；当x的终边落在两个坐标轴上时,有f (x)=0.32188 3 0 7 6 80(13题图)综上所述, f (x)的值域是.13美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的NBA篮球明星，下图是他在职业生涯前8场首发得分的茎叶统计图，这些数据的平均值和方差分别为 【答案】25，【解析】平均值，方差.14方程的解集为 【答案】【解析】令，则，原方程的解集为.【另解】，取等条件是，原方程的解集为.15设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则 【答案】【解析】，的值可取.当x=，则，x
5、=； 当x=，则，无解； 当x=0，则，无解. 当x=1，则，无解； 综上.16函数的最小值为 【答案】1【解析】先求定义域，易得，故为偶函数，从而只需考虑在上的最小值，注意到两个根号内的函数在上都递增，故在上递增，故当时取到最小值17对于一切实数，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】【解析】恒成立恒成立，当时，显然符合题意；当时，若，显然成立；当时，若，则原命题恒成立，而，且当时，从而，解得.三、解答题：本大题共3小题，共51分18（本题满分16分）已知关于的方程的两根为和.（）求实数的值；（）求的值.解：（），为方程的两根， 则有：， -4分 由（2）、（3）有：， 解得：，此时，又，；
6、-8分 （） -12分且， ，.-16分19（本题满分17分）设实数，函数.（）当时，判断的单调性；（）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.解：易知的定义域为，且为偶函数.（）当时，令，则关于的函数在上单调递增，在上单调递减，-3分又定义域为，而在上单调递减，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增；-7分（）令，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有.-10分（1）当时，在上单调递减，在上单调递增，由得，从而；.-12分（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，由得，从而；.-14分（3）当时，在上单调递减， 由得，从而；.-16分综上，.-17分20（本题满分18分）函数的定义域为，且满足：对于任意的，；在区间上单调递增.求（）；（）不等式的解集.解：（）令，则，所以或，-2分令，则，令，则，-4分若，则，因为在上单调递增，所以，矛盾！因此，-6分（），. 令，则，所以的图像关于直线对称. -8分 再证的图像关于原点对称. 令，所以，因为，所以，令，有，对上式令，则，所以. -10分又因为，所以对任意的，恒有，所以的图像关于原点对称. -12分所以对于任意，从而的最小正周期为.-14分这样可以大致描述的图像（如右）令，因为，所以，所以.-16分由，可得. 根据图像，可知，所以不等式的解集是.-18分10
