《§6.3二阶微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§6.3二阶微分方程（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.3 二阶微分方程,一、可降阶的二阶微分方程,例1,解,但请注意：每次积分都应该出现一个积分常数。,这是一个一阶微分方程。因此可用一阶微分方程的求解 p（x),再积分即可就出y的表达式,例2,解,两边积分，得,即,再积分，得原方程的通解,于是，原方程化为,这是一个一阶微分方程。设其通解为,这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。,例3,解,于是，原方程化为,两边积分，得,运用分离变量法，得此方程的通解为,综上所述，原方程的通解为,二阶线性微分方程的一般形式为,通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。,1. 二阶常系数齐次线性微分方程,定理1,的解，则它们的线性组合,也是
2、方程 (2) 的解，,证,定理2,的两个线性无关的解，则,是方程 (2) 的通解。,的两个线性无关的解，则,是方程 (2) 的通解。,形如,的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，,即,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为,由求根公式,于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为,3) 特征方程有一对共轭复根：,是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为,二阶常系数齐线性微分方程,特征方程,特 征 根,通 解 形 式,例4,解,例5,解,2、二阶常系数非齐线性微分方程,定理3 若常系数线性齐次方程 y + p y + q y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2，,得该方程的通解,常系数线性非齐次方程 y + p y + q y = f (x) 的一个特解 y*.,那么，方程的通解为 y = Y + y*.,Y=C1 y1 + C2 y2.,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程, 得,原方程通解为,例6,
