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1、第四章 基本知识小结,功的定义式：,直角坐标系：,自然坐标系:,极坐标系：,重力势能,弹簧弹性势能,静电势能,动能定理适用于惯性系、质点、质点系,机械能定理适用于惯性系,机械能守恒定律适用于惯性系,若只有保守内力做功,则系统的机械能保持不变,碰撞的基本公式,分离速度= e 接近速度，对于完全弹性碰撞 e = 1，对于完全非弹性 碰撞 e = 0，对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式,克尼希定理,绝对动能 = 质心动能 + 相对动能,应用于二体问题：,u 为二质点相对速率,4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜坡与水平面夹角的正切tg=0.02，所受阻力等于卡车
2、重量的0.04, 如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？,解：设卡车匀速上坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率为N, 由质点平衡方程有， F = (0.04+sin)mg，N = Fv = (0.04+sin)mgv 设卡车匀速下坡时，速率为v, 牵引力为F, 功率 为N, 由质点平衡方程有 F+ mg sin= 0.04mg, F=(0.04-sin)mg, N= (0.04-sin)mgv. 令N= N, 即（0.04+sin）mgv = (0.04-sin)mgv 可求得：v= v(0.04+sin)/(0.04-sin). 利用三角函数关系式，可求得: sintg=0.02
3、v=3v =315103/602 m/s = 12.5m/s.,4.3.2 质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以恒力F,F=60N,木块在A处有向上的速度v0=2m/s,求木块被拉至B时的速度,解：木块在由A到B的运动过程中 受三个力的作用,各力做功分别是 AN = 0 AW = -mg(yB-yA) = -5.88J F大小不变, 方向变化, 为变力做功,由动能定理：,代入数据，求得vB =3.86 m/s.,4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体，圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方
4、向，框架质量为200g. 自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力F=20.0N作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦,代数据,v1x2=4.3, v1y2=(v1xtg30)2=1.44v1=(v1x2+v1y2)1/2=2.4m/s.,解：设绳长l，柱质量m1，框质量m2，建立图示坐标o-xy；在o点速度均为零；设柱在图示位置的速度为v1，方向与线l垂直，框的速度为v2,方向水平向右, 由套接关系, 知v2=v1x，v1y=v1xtg30 .,柱m1与框m2构成的质点系在从竖直位置运动到图示位置过程中，只有重力W1和拉力F做功：AW1= - m1gl(1-cos30)=
5、- 0.13J, AF = F l sin30= 2J 由质点系动能定理：,4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2，它们自由伸展的长度相差l, 坐标原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0xl和x0时弹性势能的表达式。,解：规定两个弹簧处在原点时的弹性势能为零, 弹簧2的势能表达式显然为,求弹簧1的势能表达式：,当 0xl 时，,当 x 0 时，,4.5.1 滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达平台C时，其速度vc刚好在水平方向，已知A、B两点的垂直距离为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30角，不计摩擦，求：运动员离开B处
6、的速率vB；B、C的垂直高度差h及沟宽d；运动员到达平台时的速率vc,解：取B点势能为零, 由机械能守恒：,运动员由B到C作斜抛运动，据题意， C点为最高点，由斜抛规律知：,由机械能守恒：,由竖直方向的速度公式可求跨越时间：,由水平方向的位移公式可求得跨越距离：,4.5.2装置如图所示, 球的质量为5kg，杆AB长1m，AC长0.1m，A点距o点0.5m，弹簧的劲度系数为800N/m，杆AB在水平位置时恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。,解：取小球在水平位置时，重力势能、弹性势 能均为零，小球运动到竖直位置时的速度为
7、v,弹簧原长：,在小球从水平位置运动到竖直位置的过程 中，只有保守内力做功，因而机械能守恒,可求得：,4.6.3 两球具有相同的质量和半径，悬挂于同一高度. 静止时,两球恰能接触且悬线平行.碰撞的恢复系数为e. 若球A自高度h1释放, 求该球弹回后能达到的高度. 又问若二球发生完全弹性碰撞, 会发生什么现象，试描述之。,设A球弹回后的最大高度为h，根据能量守恒,若为完全弹性碰撞，则e=1,由知：vA=0, vB=vA， ,即碰后A球静止， B球以A原来的速度向右运动;B球达到h1高度返回后，又把速度全部传给 A球，周而复始进行下去。,解：设球质量为m，球A由h1高处到水平 位置时的速度vA,
8、可由能量守恒方程求出,设A,B两球碰后速度分别为vA和vB， 据非完全弹性碰撞基本公式，有,4.6.8在一铅直面内有一光滑轨道，左边是一个上升的曲线，右边是足够长的水平直线，两者平滑连接，现有A、B两个质点，B在水平轨道上静止，A在曲线部分高h处由静止滑下，与B发生完全弹性碰撞。碰后A仍可返回上升到曲线轨道某处，并再度滑下，已知A、B两质点的质量分别为m1和m2，球A、B至少发生两次碰撞的条件。,根据完全弹性碰撞基本公式，有,由联立求解，得：,发生两次碰撞的条件是：vAvB , 即 mB-mA2mA， mB3mA,解：设碰前mA的速度为v0 碰后mA, mB的速度分别为vA,vB, 方向如图示. 由能量守恒,4.7.1 质量为M的氘核以速率u与静止的质量为2M的粒子发生完全弹性碰撞。氘核以与原方向成90角散射。求粒子的运动方向，用u表示粒子的末速度，百分之几的能量由氘核传给粒子？,解：以氘核碰前速度u和碰后速度u的方向建立 坐标0-xy；设粒子碰后速度为,由能量守恒：,将代入中，可求得：, 将代入中求得 ， 与x轴的夹角,由动量守恒：,投影式 x：Mu = 2Mvx， vx = u /2 y：0 = Mu+2Mvy，vy = - u/2 ,
