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1、第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件,第一章,1.命题的概念 可以_，用文字或符号表述的语句叫作命题其中判断为_的语句叫真命题，判断为_的语句叫假命题,判断真假,真,假,2四种命题及其关系 (1)四种命题的表示及相互之间的关系,若q，则p,若非p，则非q,若非q，则非p,(2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有_的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性_,相同,没有关系,3充分条件与必要条件 (1)如果pq，那么p是q的_，q是p的_ (2)如果pq，qp，那么p是q的_，记作_ 4特别提醒：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否
2、定命题的结论,充分条件,必要条件,充要条件,pq,1.(文)(2014浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形故选A.,(理)(2014安徽高考)“x0”是ln(x1)0的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 本题考查对数函数的性质，充分必要条件 ln(x1)0ln1，0x11， 即1x0，(1,0)(，0)， “x0”是ln
3、(x1)0的必要不充分条件,2(文)命题“若p则q”的逆命题是( ) A若q则p B若非p则非q C若非q则非p D若p则非q 答案 A 解析 本题考查四种命题，由逆命题定义，命题“若p则q”的逆命题为“若q则p”，选A.,(理)设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是( ) A若ab，则|a|b| B若ab，则|a|b| C若|a|b|，则ab D若|a|b|，则ab 答案 D 解析 本小题考查逆命题的写法，条件与结论互换,3(文)命题“若a0，则a20”的否命题是( ) A若a20，则a0 B若a0，则a20 C若a0，则a20 D若a0，则a20 答案 C 解析 否命题是将
4、原命题的条件与结论分别否定，作为条件和结论得到的，即“若a0，则a20”,(理)命题“若C90，则ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( ) A0 B2 C3 D4 答案 B 解析 原命题为真命题，因此它的逆否命题也为真命题；它的逆命题是“若ABC是直角三角形，则C90”，它是假命题，故其否命题也为假命题选B.,4“1x2”是“x2”成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 因为“1x2”“x2”，而x2/“1x2”，故“1x2”是“x2”的充分不必要条件，故选A.,6已知p(x)：x22
5、xm0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是_ 答案 3m0，解得m8，所以实数m的取值范围是3m8.,(1)(2014潍坊市三模)命题“若ab，则2a2b”的否命题是( ) A若ab，则2a2b B若2a2b，则ab C若ab，则2a2b D若2a2b，则ab (2)设a0，b0，e是自然对数的底数( ) A若ea2aeb3b，则ab B若ea2aeb3b，则ab D若ea2aeb3b，则ab,四种命题间的关系及命题真假的判断,思路分析 (1)根据否命题的定义改写 (2)利用逆否命题真假关系判断 规范解答 (1)否命题为“若ab，则2a2b” (2)通过逆否命题判断真
6、假 当0b成立，故A正确，B错误；当0ab时，有eaeb,2a3b，知ea2a与eb3b的大小关系不确定，故C错误；同理，D错误 答案 (1)C (2)A,方法总结 在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的,下列命题： “全等三角形的面积相等”的逆命题； “若ab0，则a0”的否命题； “正三角形的三
7、个角均为60”的逆否命题； “若x3，则x2x60”的否命题； “若a2b20，a，bR，则ab0”的逆否命题 其中真命题的序号是_(把所有真命题的序号填在横线上) 答案 ,解析 “全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；“若ab0，则a0”的否命题为“若ab0，则a0”，而由ab0可得a，b都不为零，故a0，所以该命题是真命题；由于原命题“正三角形的三个角均为60”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；逆命题为“a，bR，若a0或b0，则a2b20”为真命题,(1)(2015济南市高考模拟)设xR，则“x23x
8、0”是“x4”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 (2)(2015福建省普通高三质量检查)已知向量a(m2,4)，b(1,1)，则“m2”是“ab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件,充分条件与必要条件的判定,思路分析 (1)从解不等式x23x0入手，求x的取值，寻找推导关系 (2)从判断ab的条件入手，寻找推导关系 规范解答 (1)由x23x0，得x3或x4，但当x4时，不等式x23x0恒成立，所以正确选项为B. (2)依题意，当m2时，a(4,4)，b(1,1)，所以a4b，ab，即由m
9、2可以推出ab；当ab时，m24，得m2，所以不能推得m2，即“m2”是“ab”的充分而不必要条件 答案 (1)B (2)A,方法总结 命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假 (2)等价法：利用“AB”与“非B非A”，“BA”与“非A非B”，“AB与非B非A”的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法 (3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件,(1)(文)设a、bR，则“(ab)a20”是“ab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答
10、案 A 解析 因为a20，而(ab)a20，所以ab0，即ab；由ab，a20，得到(ab)a20，所以(ab)a20是ab的充分不必要条件,(理)已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B,解析 本小题主要考查不等式的性质和充要条件的概念 由acbd变形为abcd， 因为cd，所以cd0，所以ab0，即ab， acbdab. 而ab并不能推出acbd. 所以ab是acbd的必要而不充分条件故选B.,(2)对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2ny21的曲线是椭圆”的( ) A充分不
11、必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 B 解析 本题考查了充分必要条件及椭圆的标准方程的形式，由mn0，若mn0，则方程 mx2ny21表示圆，故mn0/ 方程mx2ny21表示椭圆，若mx2ny21表示椭圆mn0，故为必要不充分条件，充分理解椭圆的标准方程是解决问题的关键,已知数列an的前n项和Snpnq(p0且p1)，求证：数列an成等比数列的充要条件是p0，p1且q1. 思路分析 由充要条件的定义，可先由Snpnq(p0且p1)an是等比数列即为充分性；再由an是等比数列Snpnq即为必要性,充要条件的证明,方法总结 (1)证明充要性首先要分清谁是条件
12、，谁是结论在这里要注意两种说法：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”；前者是p是条件，后者q是条件 (2)证明分为两个环节，一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明,求证：关于x的一元二次不等式ax2ax10对于一切实数x都成立的充要条件是0a4.,等价转化思想在充要条件中的应用 思路分析 (1)先对集合进行化简； (2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系； (3)利用集合间的关系列出关于m的不等式，求出实数m的范围,方法总结 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键,分不清“充分条件”与“必要条件”的概念 问“x是第二象限角”是“ysinx，ycosx都是减函数”的什么条件？,一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法 两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假,
