因数和倍数--质数和合数

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1、因数和倍数 质数和合数整理教师：刘新民一、基础知识（一）因数和倍数1. 因数和倍数的意义。 已知a、b、c均为正整数，且ab=c，那么c就是a和b的倍数，a和b就是c的因数，倍数和因数是相互依存的，不能独立存在。2. 因数和倍数的特征。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，又是它本身的倍数。（二）能被2、3、5整除的数的特征1. 能被2整除的数的特征：个位上的数字是0，2,4,6,8。2. 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数。3. 能被5整除的数的特征：

2、个位上的数字是0或5。4. 能同时被2、5整除的数的特征：个位上的数字是0。（三）奇数和偶数1. 奇数：在自然数中，不能被2整除的数叫做奇数。2. 偶数：在自然数中，能被2整除的数叫做偶数。3. 研究奇数和偶数时包括0，因此自然数不是奇数就是偶数。最小的奇数是1，没有最大的奇数；最小的偶数是0，没有最大的偶数。（四）质数和合数1. 质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），最小的质数是2，2是唯一的偶质数，没有最大的质数。2. 合数的意义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。最小的合数是4，没有最大的合数。注意：1既不是质数也不是合数。除

3、2以外，所有的质数是奇数，所有的偶数是合数。3. 判断一个数是质数还是合数的方法。（1）通过找因数的个数来判断：先找出这个数的因数，再数因数的个数，只有1和它本身两个因数的数就是质数，有三个或三个以上因数的数就是合数。（2）查表法：看质数表里有没有所要查的数，如果有，它是质数，如果没有，它就不是质数。4. 奇数和偶数的运算性质。（1）和差的奇偶性奇数奇数=偶数（偶数个奇数相加） 奇数奇数=奇数（奇数个奇数相加）奇数偶数=奇数 偶数偶数=偶数（2）积的奇偶性奇数奇数=奇数； 奇数偶数=偶数； 偶数偶数=偶数（五）分解质因数1. 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合

4、数的因数，叫做这个合数的质因数。2. 分解质因数：把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。3. 分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常运用短除法。分解质因数时，先用这个合数的质因数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数就用质因数继续去除，直到得出的商是质数为止，然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。（六）最大公因数和最小公倍数1. 最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。2. 最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍

5、数。3. 互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。4. 求两个数的最大公因数的方法：（1）列举法；先分别找出每个数的因数，从中找出公因数，再找出最大的一个因数就是它们的最大公因数。（2）筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈较大数的因数，再看哪个因数最大，这个数就是它们的最大公因数。（3）分解质因数法：先将两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。（4）短除法：把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。5. 求两

6、个数的最小公倍数的方法：（1）列举法：分别写出两个数各自的倍数，再从其中找出公有的倍数，然后从公倍数中找出最小的一个就是这几个数的最小公倍数。（2）筛选法：先写出两个数中较大数的倍数，然后从这组数中按从小到大的顺序圈出较小数的倍数，第一个圈出的就是它们的最小公倍数。（3）分解质因数法：分别把两个数分解质因数，相同的质因数对齐写，独有的质因数单独写，然后相同的质因数取一个，单独的质因数都取出来，把它们连乘，积就是最小公倍数。（4）短除法：用两个数公有的质因数按从小到大的顺序，依次作为除数连续去除这两个数，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘起来，就是这两个数的最小公倍

7、数。6. 求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况。（1）如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是较小数的最小公倍数。（2）如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是这两个数的乘积。（3）两个数的乘积等于最大公因数和最小公倍数的乘积。二、例题精讲例1、有因数2，又是3和5的倍数的最大三位数是多少？分析与解答：根据题意，这道题所求的数是同时是2，3，5的倍数的最大三位数。同时是2，3，5的倍数的数的个位上的数字一定是0，其他各位上数字的和是3的倍数。要使其最大，百位上一定是9，十位上也是9，所以这个三位数是990。例2、（选择）把210分解质

8、因数是（ ）A. 210=12357 B. 2357=210C. 210=567 D. 210=2357分析与解答：分解质因数是把一个合数写成几个质因数相乘的形式，所有的因数必须是质数，所以选项A中，1不是质数；选项C中，6不是质数；分解质因数和乘法算式不同，应该把被分解的合数写在等号的左边，故选项B也不对，那么正确答案是D。例3、求24和36的最大公因数和最小公倍数。分析与解答：要求两个数的最大公因数和最小公倍数，应该先分别把这两个数分解质因数：24=222336=2233求两个数的最大公因数时，把这两个数公有的因数2、2和3乘起来，即223=12；求两个数的最小公倍数时，把它们公有的因数2

9、、2、3和各自独立的因数2、3都乘起来，即22323=72；所以24和36的最大公因数是12，最小公倍数是72。例4、把长1.36m、宽0.8m的长方形纸裁成同样大小的正方形纸。如果要使正方形纸的面积尽可能大，且裁完没有剩余，可裁出多少张正方形纸？分析与解答：把长方形纸裁成正方形纸且没有剩余，则正方形纸的边长是长方形纸长与宽的公因数，要使正方形纸的面积尽可能大，正方形纸的边长应是长与宽的最大公因数。先把米化成厘米，即1.36m=136，0.8m=80，因为136和80的最大公因数是8，所以正方形的边长为8，那么长方形在长可以分1368=17（段），宽可以分808=10（段），故可裁1710=1

10、70（张）。例5、一袋糖果，如果平均分给4个小朋友，还剩3块；如果平均分给5个小朋友，还缺1块；如果平均分给6个小朋友，还缺1块。这袋糖果至少有多少块？分析与解答：题中“如果平均分给5个小朋友，还缺1块” 可以理解为“如果平均分给5个小朋友，还剩4块；同理“如果平均分给6个小朋友，还缺1块” 可以理解为“如果平均分给6个小朋友，还剩5块” 。如果给这堆糖果再加1块，那么分别平均分给4个小朋友，5个小朋友，6个小朋友，都正好分完。也就是说这袋糖果加1块后正好是4，5，6的公倍数，这袋糖果至少有多少块，就是求4，5，6的最小公倍数。即4，5，6的最小公倍数是60，所以这袋糖果至少有60-1=59（

11、块）。三、练习精选1. 填空。（1）20以内既是偶数又是质数的有（ ），既是奇数又是合数的是（ ）。（2）一个数的最大因数是48，它的最小倍数是（ ），把这个数分解质因数是（ ）。（3）任意两个连续的自然数中，两个数都是质数的有（ ）组。（4）a和b是两个自然数，a除以b的商是5，没有余数，那么a和b的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。（5）既是3的倍数，又是5的倍数的最大两位奇数是（ ）。（6）如果A=235，B=357，那么A和B的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。（7）两个质数的和是31，这两个质数的积是（ ）。（8）一个自然数除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是

12、（ ）。（9）有三根铁丝，一根长48dm，一根长60dm，一根长36dm，要把它们截成同样长的几段，不许剩余，每段最长（ ）dm，一共可以截成（ ）段。2. 判断。（1）一个自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。（ ）（2）因为60=345，所以3，4，5都是60的质因数。（3）有公因数1的两个数叫做互质数。（ ）（4）互质的两个数相乘的积一定是合数。（ ）3. 选择。（1）求18和30的最大公因数，必须包含18和30的（ ）质因数。A. 所有的 B. 公有的 C. 全部公有的（2）24用两个质数的和表示是（ ）。A. 1+23 B. 4+20 C. 2+22 D. 11+13（3）40=

13、245，下面说法中正确的是（ ）。A. 2，4，5都是40的质因数B. 40=245是把40分解质因数。C. 2，4，5都是40的因数，（4）在0，3，6，5这4个数字中选择3个数字，组成一个同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（ ）A. 306 B. 350 C. 360 D. 630（5）两个奇数的和一定是（ ）数，积一定是（ ）数。A. 奇 B. 偶 C. 质 D. 合4. 解决问题。（1）学期末，老师把35支铅笔和42本练习本平均分给六（3）班获得“三好学生”的同学，结果铅笔缺1支，练习本多2本，获得“三好学生”的最多有多少人？（2）一行有36棵小树，原来每隔2m栽一棵，现在没两棵之间的距离改为5m，一共有几棵小树不必移动？四、思维训练1. 我国首台自行研制的“蛟龙”号载人潜水器在太平洋马里亚纳海沟下潜的深度是（ ）米。（1）这个数是一个四位数，千位上的数字是最小质数与最小合数的和。（2）个位上的数字是5的最小倍数。（3）百位上的数字是最大的一位数。（4）十位上的数字与千位上的数字相同。2. 甲、乙两数的积是700，甲、乙两数的最大公因数是5，最小公倍数是（ ）。3. 将下面8个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样分？14 30 33 35 39 75 143 169