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1、 勤而思教育个性化学习中心二次根式复习讲义知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如a(a0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方数，只有当a是一个非负数时，a才有意义【典型例题】 【例1】下列各式1）， 其中是二次根式的是_（填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的个数有_个.【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 来源:学*科*网Z*X*X*K举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3且x42、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象
2、限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=+2009，则x+y= 解题思路：式子（a0）， ，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、若，则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D32、若x、y都是实数，且y=，求xy的值【例4】已知a是整数部分，b是 的小数部分，求的值。举一反三：1、若的整数部分是a，小数部分是b，则 。知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2. 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3. 注意：（1）字母不一定是正数 （2）能
3、开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4. 公式与的区别与联系 （1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数 （2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数（3）和的运算结果都是非负的【典型例题】 题型一：二次根式的双重非负性【例5】若则 举一反三：1、若，则的值为 。二次根式的性质2 （公式的运用）【例6】 化简：的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：1、在实数范围内分解因式： 二次根式的性质3 （公式的应用）【例7】已知,则化简的结果是（ ）A、 B、C、
4、D、 举一反三：1、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D92、若a30，则化简的结果是（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 2a7 (D) 72a【例8】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+ 的结果等于（ ） A2b B2b C2a D2a举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：【例9】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）（A）x为任意实数 （B）x4 （C） x1 （D）x1举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（ ）（A） （B）（C） （D）或【例10】化简二次根式的结果是（ ）（A） (B) (C) (D)举一反三：1、把二次根式化
5、简，正确的结果是（ ）A. B. C. D. 知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）ABCD【例11】举一反三：1、下列根式不是最简二次根式的是()A.B.C.D.2、在根式1) ，最简二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)3、把下列各式化为最简二次根式： (1)
6、(2) 【例12】下列根式中能与是合并的是( )A. B. C.2 D. 举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）A、 B、 C、 D、2、在二次根式：； ； ；中，能与合并的二次根式是 。知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】 1分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最
7、简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化（1） （2） （3） （4）【例14】把下列各式分母有理化：（1） （2） （3）举一反三：1、已知，求下列各式的值：（1）（2）知识点五：二次根式计算二次根式的乘除【知识要点】 1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 =（a0，b0）2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 （a0，b0） 3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
8、=（a0，b0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】 【例15】化简(1) (3) (3) 【例16】化简：(1) (2) (3) 知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时
9、，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】 【例17】计算（1）； （2）；【例18】（3） （4）【例19】1、 2、 （-4） 3、 4、） 【例20】求的值知识点七：根式比较大小【知识要点】 1、根式变形法 当时，如果，则；如果，则。2、平方法 当时，如果，则；如果，则。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。【典型例题】 【例21】 比较与的大小。【例22】比较与的大小。【例23】比较与的大小。【例24】比较与的大小。
