《2018版高中数学人教B版选修2-2学案：1.4.2 微积分基本定理（一） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版选修2-2学案：1.4.2 微积分基本定理（一） （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.2 微积分基本定理微积分基本定理(一一) 明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函 数的积分 1微积分基本定理 如果 F(x)f(x)，且 f(x)在a，b上可积，则 f(x)dxF(b)F(a)，其中 F(x)叫做 f(x)的一 b a 个原函数 2定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S上，x 轴下方的面积为 S下，则 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)，则 f(x)dxS上 b a (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图(2)，则 f(x)dxS下 b a (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上
2、方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则 f(x)dxS上S下，若 b a S上S下，则 f(x)dx0. b a 情境导学 从前面的学习中可以发现，虽然被积函数 f(x)x3非常简单，但直接用定积分的定义计算 x3dx 的值却比较麻烦有没有更加简便、有效的方法求定积分？另外，我们已经学习了两 1 0 个重要的概念导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种 联系求定积分？ 探究点一 微积分基本定理 思考 1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是 yy(t)，并且 y(t)有连续的导数， 由导数的概念可知，它在任意时刻 t 的速度 v(t)y(t)设这个物体在时间段a，
3、b内的位 移为 s，你能分别用 y(t)，v(t)表示 s 吗？ 答 由物体的运动规律是 yy(t)知：sy(b)y(a)， 通过求定积分的几何意义，可得 s v(t)dt y(t)dt， b ab a 所以 v(t)dt y(t)dty(b)y(a)其中 v(t)y(t) b ab a 小结 (1)如果 f(x)在区间a，b上可积，且 F(x)f(x)，则 f(x)dxF(b)F(a)这个结 b a 论叫做微积分基本定理 (2)运用微积分基本定理求定积分 f(x)dx 很方便，其关键是准确写出满足 F(x)f(x)的 b a F(x) 思考 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的
4、F(x)，使 F(x)f(x)？若不唯一，会 影响微积分基本定理的唯一性吗？ 答 不唯一，根据导数的性质，若 F(x)f(x)，则对任意实数 c，F(x)cF(x) cf(x) 不影响，因为 f(x)dxF(b)cF(a)cF(b)F(a) b a 例 1 计算下列定积分： (1)dx；(2) (2x)dx；(3)(cos xex)dx. 2 1 1 x3 1 1 x20 解 (1)因为(ln x) ， 1 x 所以 dxln x| ln 2ln 1ln 2. 2 1 1 x2 1 (2)因为(x2)2x，( )， 1 x 1 x2 所以 (2x)dx 2xdxdx 3 1 1 x23 13
5、1 1 x2 x2| | (91)( 1). 3 1 1 x 3 1 1 3 22 3 (3)(cos xex)dxcos xdxexdx 000 sin x|ex|1. 00 1 e 反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易 求时，可将被积函数适当变形后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限 跟踪训练 1 计算下列定积分： (1) (x1)5dx； 2 1 3 2 0 2sincosdxxx ； (3)dx. 2 1 1 xx1 解 (1)因为(x1)5， 1 6x16 所以 (x1)5dx
6、Error!Error! 2 12 1 (21)6 (11)6 . 1 6 1 6 1 6 (2)因为sin3xcos x， ( 1 4sin4x) 所以Error!Error! 3 2 0 sincosdxxx 2 0 sin4 sin40 . 1 4 2 1 4 1 4 (3)令 f(x) ， 1 xx1 1 x 1 x1 取 F(x)ln xln(x1)ln ， x x1 则 F(x) . 1 x 1 x1 所以dx ( )dx 2 1 1 xx1 2 1 1 x 1 x1 Error!Error! ln . 2 1 4 3 探究点二 分段函数的定积分 例 2 已知函数 f(x)Erro
7、r!Error!先画出函数图象，再求这个函数在0,4上的定积分 解 图象如图 424 2 002 2 ( )sin1(1)f x dxdxdxxdx 224 2 02 2 1 ( cos )() 2 xxxx 1(2 )(40)7 . 2 2 反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分 段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数 跟踪训练 2 设 f(x)Error!Error! 求 f(x)dx. 11 解 f(x)dxx2dx (cos x1)dx 11011 0 x3|(sin xx)| sin 1 . 1 3011 0 2 3 探究点
8、三 定积分的应用 例 3 计算下列定积分： sin xdx，sin xdx，sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表 02 2 0 示所发现的结论 解 因为(cos x)sin x， 所以 sin xdx(cos x)| 0 0 (cos )(cos 0)2； sin xdx(cos x)| 2 2 (cos 2)(cos )2； sin xdx(cos x)| 2 02 0 (cos 2)(cos 0)0. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是 0： 定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于 x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间 的积分；(2
9、)位于 x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值 就是位于 x 轴上方曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 反思与感悟 求平面图形面积的步骤： (1)画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标 (2)将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积 (3)确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积 跟踪训练 3 求曲线 ysin x 与直线 x ，x ，y0 所围图形的面积(如图所示) 2 5 4 解 所求面积为 S |sin x|dx 5 4 2 0 sin xdx sin xdx sin xdx 2 0 5 4 12(1)4. 2 2 2 2 1定积分 (2xe
10、x)dx 的值为( ) 1 0 Ae2 Be1 Ce De1 答案 C 解析 (2xex)dx(x2ex)| e.故选 C. 1 01 0 2若 (2x )dx3ln 2，则 a 的值是( ) a 1 1 x A5 B4 C3 D2 答案 D 解析 (2x )dx 2xdxdx a 1 1 xa 1a 1 1 x x2| ln x| a21ln a a 1a 1 3ln 2， 解得 a2. 3 (x2 x)dx_. 2 0 2 3 答案 4 3 解析 (x2 x)dx x2dxxdx 2 0 2 32 02 0 2 3 | | . x3 3 2 0 x2 3 2 0 8 3 4 3 4 3 4
11、已知 f(x)Error!Error!，计算 f(x)dx. 0 解 2 00 2 ( )( )( )f x dxf x dxf x dx 2 0 2 (42 )cos,xdxdx 取 F1(x)2x22x，则 F1(x)4x2； 取 F2(x)sin x，则 F2(x)cos x. 所以 22 22 0 0 2 2 1 (42 )cos(22)sin1, 2 xdxdxxxx 即 f(x)dx 21. 0 1 2 呈重点、现规律 1求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求积分 (2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性” ，分段积分再求和 (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分 2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而面积是正值，因此不要把面积 理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在 x 轴下方的图形面积要取 定积分的相反数
