蝴蝶定理及其证明

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1、蝴蝶定理及其证明蝴蝶定理已知圆O，PQ是一条弦，设M为弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。 设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。 证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。SM。MT。SMDCMB，且SD=1/2ADBT=1/2BC， DS/BT=DM/BM又D=B MSDMTB，MSD=MTB MSX=MTY； 又O，S，X，M与O，T。Y。M均是四点共圆， XOM=YOM OMPQ XM=YM 还有一种解析几何法，给出了推广。 推广二次曲线S的三条弦AB,CD,EF交于一点M,ED交AB于Q,CF交AB于P, 则1/QM-1/PM=1/AM-1/BM

2、. 以M为原点，AB为x轴，S:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0, CD:y=k1x,EF:Y=k2x,过C,D,E,F四点的二次曲线系方程： S+t(y-k1x)(y-k2x)=0. 令y=0,得(A+tk1k2)x2+Dx+F=0,其根为曲线与横轴交点的横坐标， 则Fx2+Dx+A+tk1k2=0根为横坐标的倒数，其和=-D/F为定值。 即1/QM+1/(-PM)=1/AM+1/(-BM). 得证。蝴蝶定理蝴蝶定理 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志男士日记上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M

3、任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1985年，在河南省数学教师创刊号上，杜锡录同志以平面几何中的名题及其妙解为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 AMDCMBAM/CM=AD/BCSD=1/2

4、AD，BT=1/2BC AM/CM=AS/CT又A=C AMSCMTMSX=MTYOMX=OSX=90OMX+OSX=180O，S，X，M四点共圆同理，O，T，Y，M四点共圆MTY=MOY，MSX=MOXMOX=MOY ，OMPQXM=YM这个定理在椭圆中也成立，如图，椭圆的长轴A1、A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（o，r）（br0）。（）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（）直线y=k1x交椭圆于两点（x1,y1）,D(x2，y2)（y2）；直线y=k2x交椭圆于两点（x3，y3），（x4，y4）（y）。求证：kxx2(x1+x2)=k2x3x4(x3+x4)（）对于

5、（）中的C，D，G，H，设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q。求证： | OP | = | OQ |。（证明过程不考虑CH或GD垂直于X轴的情形）2解答：北京教育考试院招生考试办公室专家在公布的2003年全国普通高等学校招生统一考试试题答案汇编中给出的参考解答如下：（18）本小题主要考查直线与椭圆的基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。（）解：椭圆方程为x2/a2+(y-r)2/b2=1焦点坐标为x代入椭圆方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，1（）证明：将直线CD的方程y=k整理，得(b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0根据韦达定理，得

6、x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r 将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r 由，得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/(x3+x4) 所以结论成立。（）证明：设点P（p，o），点Q（q，o）。由C，P，H共线，得(x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)由D，Q，G共线，同理可得q=(k1-k2)x2x3/(k1x2-

7、k2x3)由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，变形得：x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。3简评本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。第（）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4这样的对

8、称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于x1x2，x1+x2，x3x4，x3+x4的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。第（）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（

9、或p+q=0。）此时分析前提条件（）及待证结论p= -q，关键在于沟通k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)与x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅自然。设：k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)为式，两边同取倒数，得1/k1x2+1/k1x1=1/k2x4+1/k2x3 设：x1x4/(k1x1-k2x4)=-x2x3/(k1x2-k2x3)为 式，两边同取倒数，得

10、k1/x4-k2/x1=k2/x2-k1/x3，移项得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4 将两边同乘以k1k2，即得k2/x1+k2/x2=k1/x3+k1/x4它与完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。4赏析：上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？关于圆，有一个有趣的定理：蝴蝶定理

11、设AB是圆O的弦，M是AB的中点。过M作圆O的两弦CD、EF，CF、DE分别交AB于H、G。则MH=MG。这个定理画出来的几何图，很像一只翩翩飞舞的蝴蝶，所以叫做蝴蝶定理（图2）。盯着试题的图1仔细看，它像不像椭圆上翩翩飞舞的蝴蝶？像，而且像极了。试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此，

12、是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？关于“椭圆上的蝴蝶”，张景中院士在其献给中学生的礼物一书数学家的眼光“巧思妙解”一节中有着精妙的论述，有兴趣的读者请参阅该书P54-59。5启示椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，飞落到了北京数学高考试题的百花（草）园，令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本平面解析几何全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求证：三点在一条直线上：P17练习4：证

13、明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。为什么？你（老师、学生）关注到了它吗？实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。你可以用基本公式平面上两点间的距离公式 证明AC=AB+BC；你也可以应用定比分点公式x=（x1+x2）/（

14、1+）,y=（y1+y2）/（1+）去证=（x1-x）/（x-x2）=（y1-y）/（y-y2）；你可以用过两点的直线的斜率公式Kp1p2=（y2-y1）/（x2-x1），去证KAB=KAC；你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式证明dc-AB=0；你还可以计算ABC的面积，去证ABC=0。你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。据说考试下来，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！不知读者诸君欣赏至此，能不能发现上述问题的症结究竟发生在哪里？北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。各种各样的复习资料，几十套几十套的各地模拟试卷，使高三学生跳进题海做得昏天黑地而难以自拔，这哪里还谈得上素质教育与培养能力？我们应当从欣赏“翩翩飞舞的椭圆蝴蝶”中去用心体会“精选题