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1、概率论与数理统计习题及答案习题二1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:(1) X的分布律;(2) X的分布函数并作图;(3).【解】故X的分布律为X012P(2) 当x0时,F(x)=P(Xx)=0当0x1时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)= 当1x2时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=当x2时,F(x)=P(Xx)=1故X的分布
2、函数(3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数4.(1) 设随机变量X的分布律为PX=k=,其中k=0,1,2,0为常数,试确定常数a.(2) 设随机变量X的分布律为PX=k=a/N, k=1,2,N,试确定常数a.【解】(1) 由分布律的性质知故 (2) 由分布律的性质知即 .5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求:(1) 两人投中次数相等
3、的概率;(2) 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则Xb(3,0.6),Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则Xb(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有即 利用泊松近似查表得N9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事
4、故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?【解】设X表示出事故的次数,则Xb(1000,0.0001) 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2,求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则故 所以 .9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,(1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;(2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.【解】(1) 设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X6(5,0.3)(2) 令Y表示7次独立试验中A发
5、生的次数,则Yb(7,0.3)10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】(1) (2) 11.设PX=k=, k=0,1,2PY=m=, m=0,1,2,3,4分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知PX1=,试求PY1.【解】因为,故.而 故得 即 从而 12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000
6、册书中错误的册数,则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,得 13.进行某种试验,成功的概率为,失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.【解】14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求:(1) 保险公司亏本的概率;(2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日,保险公司总收入为250012=30000元.设1年中死亡
7、人数为X,则Xb(2500,0.002),则所求概率为由于n很大,p很小,=np=5,故用泊松近似,有(2) P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P(保险公司获利不少于20000) 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -x+,求:(1)A值;(2)P0X1; (3) F(x).【解】(1) 由得故 .(2) (3) 当x0时,当x0时, 故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求:(1) 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;(2)
8、 在这段时间内有一只电子管损坏的概率;(3) F(x).【解】(1) (2) (3) 当x100时F(x)=0当x100时 故 17.在区间0,a上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在0,a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X的分布函数.【解】 由题意知X0,a,密度函数为故当xa时,F(x)=1即分布函数18.设随机变量X在2,5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5,即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行
9、5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求PY1.【解】依题意知,即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42).(1) 若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些?(2) 又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?【解】(1) 若走第一条路,XN(40,102),则若走第二条路,XN(50,42),则+故走第二条路乘上火车的把握大些.(2) 若XN(
10、40,102),则若XN(50,42),则 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN(3,22),(1) 求P2X5,P-4X10,PX2,PX3;(2) 确定c使PXc=PXc.【解】(1) (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062),规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 23.一工厂生产的电子管寿命X(小时)服从正态分布N(160,2),若要求P120X2000.8,允许最大不超过多少?【解】 故 24.设随机变量X分布函数为F(x)=(1) 求常数A,B;(2) 求PX2,PX3;(3) 求分布密度f(x).【解】(1)由得(2) (3) 25.设随机变量X的概率密度为f(x)=求X的分布函数F(x),并画出f(x)及F(x).【解】当x0时F(x)=0当0x1时 当1x0;(2) f(x)=试确定常数a,b,并求其分布函数F(x).【解】(1) 由知故 即密度函数为 当x0时当x0时 故其分布函数(2) 由得 b=1即X的密度函数为当x0时F(x)=0当0x1时 当1x2时 当x2时F(x)=1故其分布函数为27.求标准正态分布的上分位点,(1)=0.01,求;(2)=0.003,求,.【解】(1) 即 即 故 (2) 由得即