《2018版高中数学人教B版选修2-2学案：1.4.1 曲边梯形面积与定积分（二） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版选修2-2学案：1.4.1 曲边梯形面积与定积分（二） （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.4.1曲边梯形面积与定积分(二)明目标、知重点1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质定积分的概念、几何意义及性质定积分概念定积分：设函数yf(x)定义在区间a，b上，用分点ax0x1x2xn1xnb，把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0,1,2，n1.记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点i，作和式In(i)xi.当0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx(i)xi.这里a与b分别叫作积
2、分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积.基本性质kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb).探究点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限思考2
3、怎样正确认识定积分f(x)dx?答(1)定积分f(x)dx是一个数值(极限值)它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外f(x)dx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，所得值也不同(2)定积分就是和的极限(i)x，而f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”(3)函数f(x)在区间a，b上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)例1利用定积分的定义，计算x3dx的值解令f(x)x3.(1)分割在区间0,1上等间隔地插入n1个分点，把区间0,1等分成n个小区间，(i1,2，n)，每个小
4、区间的长度为x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，则x3dxSnf()x ()3i3n2(n1)2(1)2.(3)取极限x3dxSn (1)2.反思与感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤(2)从过程来看，当f(x)0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积跟踪训练1用定义计算(1x)dx.解(1)分割：将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、求和：在上取点i1(i1,2，n)，于是f(i)112，从而得(i)x(2)n012
5、(n1)22.(3)取极限：S 2.因此(1x)dx.探究点二定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么f(x)dx表示什么？答当函数f(x)0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线xa，xb(a0，f(i)0，故f(i)0.从而定积分f(x)dx0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即f(x)dxS.当f(x)在区间a，b上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)(如图)，即f(x)dxS1S2S3.例2用定积分的几何意义求：(1)
6、(3x2)dx；(2)(3) (|x1|x1|4)dx；(4)dx(ba)解(1)如图1阴影部分面积为，从而(3x2)dx.(2)如图2，由于A的面积等于B的面积，从而0.(3)令f(x)|x1|x1|4，作出f(x)在区间3,3上的图象，如图3所示，易知定积分3f(x)dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和阴影部分的面积S1S31，S26， (|x1|x1|4)dx1164.(4)令yf(x)，则有(x)2y2()2(y0)，f(x)表示以(，0)为圆心，半径为的上半圆，而这个上半圆的面积为Sr2()2，由定积分的几何意义可知dx.反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图
7、象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定跟踪训练2利用几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x1)dx.解(1)在平面上y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)由直线x1，x3，y0，以及y3x1所围成的图形，如图所示：(3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，(3x1)dx(3)(331)(1)216. 探究点三定积分的性质思考1定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广f1(x)f2(x)fn(x)dxf1
8、(x)dxf2(x)dxfn(x)dx；f(x)dxc1af(x)dxc2c1f(x)dxbcnf(x)dx(其中nN)思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间a，a上的定积分若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续不断，则f(x)dx0.若偶函数yg(x)的图象在a，a上连续不断，则g(x)dx2g(x)dx.例3计算(x3)dx的值解如图，由定积分的几何意义得dx，x3dx0，由定积分性质得(x3)dxdxx3dx.反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算跟踪训练
9、3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.解(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3()12；(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6()126；(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx3x2dx2x3dx327.1下列结论中成立的个数是()x3dx；x3dx；x3dx.A0 B1 C2 D3答案C解析成立2定积分f(x)dx的大小()A与f(x)和积分区间a，b有关，与i的取法无关B与f(x)有关，与区间a，b以及i的取法无关C与f(x)以及i的取法有关，与区间a，b无关D与f(x)、积分区间a，b和i的取法都有关答案A3根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：xdx_x2dx；dx_2dx.答案4若x2dx9，则常数T的值为_答案3解析令f(x)x2.(1)分割将区间0，Tn等分，则x.(2)近似代替、求和取i(i1,2，n)，Sn()22(1222n2)(1)(2)(3)取极限S 29, T327，T3.呈重点、现规律1定积分f(x)dx是一个和式f(i)的极限，是一个常数2可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分3定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算
