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1、,一、 函数连续性的定义,第二节,函数的连续性,第一章,重点是:初等函数的连续性;,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,对应函数的左右极限的定义，我们定义函数的左连续和右连续(单侧连续),可见 , 函数,在点,二、 间断点,(1),在点,(2) 极限,(3),不连续,不存在 ;,无定义 ,不连续 ，,而点,则称函数 f (x) 在点,称为f(x)的间断点 .,间断点类型： 第一类间断点（左右极限存在，但是不连续） 可去间断点，跳跃间断点
2、第二类间断点（左右极限至少有一个不存在） 无穷间断点，振动间断点。,自习,解,在其定义域内连续,二、连续函数的运算法则,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,定理2. 连续函数的复合函数是连续的.,三、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),一元初等函数在其定义区间内连续，其图形是一条连续不断的曲线；,四 、用连续性求极限,由对数函数的连续性；,
3、一、最值定理,二、介值定理,闭区间上连续函数的性质,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1-3.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点 ,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,二、介值定理,定理1-4. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,推论. ( 介值定理 ),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证: 作辅助函数,则,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,推论: 在闭区间上的连续函数,使,至少有,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值 .,例. 证明方程,一个根 .,证: 显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,内容小结,内容小结,左连续,右连续,函数的间断点，即为不连续点；,作业：p18: 5, 8, 9, 10，11, 13, 15, 17,
