《2018版高中数学人教B版必修二学案：2.1.1 数轴上的基本公式 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：2.1.1 数轴上的基本公式 （5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1 平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式数轴上的基本公式 学习目标 1.通过对数轴的复习,理解实数和数轴上点的对应关系,理解数轴上的向量和相 等的向量的含义,理解向量的长度和向量的坐标之间的关系.2.探索并掌握数轴上两点间距离 公式. 预习导引 1.数轴上点的坐标 (1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴,或者说在这条直线上建立了 直线坐标系. (2)在数轴上,根据点 P 与实数 x 的对应法则,在实数集和数轴上的点集之间建立了一一对应 关系,如果点 P 与实数 x 对应,则称点 P 的坐标为 x,记作 P(x). 2.向量
2、(1)定义：如果数轴上的任意一点 A 沿着轴的正向或负向移动到另一点 B,则说点在轴上作了 一次位移,点不动则说点作了零位移,位移是一个既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量, 本书简称向量. (2)向量的长度：从点 A 到点 B 的向量,记作,点 A 叫做向量的起点,点 B 叫做向量的 AB AB AB 终点,线段 AB 的长叫做向量的长度,记作|. AB AB (3)相等向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等向量. (4)向量的坐标：在数轴上向量的长度连同表示方向的符号称作向量的坐标或数量,向 AB AB 量的坐标用 AB 表示. AB (5)起点和终点重合的向量是零向量,它没有确定的方向,
3、它的坐标为 0,其长度为零. (6)位移的和：在数轴上,如果点 A 作一次位移到点 B,接着由点 B 再作一次位移到点 C,则位 移叫做位移与位移的和,记作. AC AB BC AC AB BC 由于向量可用数量表示,因此,位移的和可简单地由数量和表示. 3.数轴上的基本公式 (1)数轴上任意三点间的关系 对于数轴上任意三点 A,B,C,都具有关系 ACABBC. (2)数轴上两点的距离 数轴上任一向量的坐标 数轴上任一向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标. 数轴上两点的距离 设 A(x1),B(x2)为数轴上任意两点,用 d(A,B)表示 A,B 两点间的距离,则 d(A,B)|AB|x2x1
4、|. 要点一 数轴上的点与实数的关系 例 1 (1)若点 P(x)位于点 M(2),N(3)之间,求 x 的取值范围； (2)试确定点 A(a)、B(b)的位置关系. 解 (1)由题意可知,点 M(2)位于点 N(3)的左侧,且点 P(x)位于点 M(2),N(3)之间,所以 2x3. (2)确定两点的位置关系,需要讨论实数 a,b 的大小关系；当 ab 时,点 A(a)位于点 B(b)的右 侧；当 ab 时,点 A(a)位于点 B(b)的左侧；当 ab 时,点 A(a)与点 B(b)重合. 规律方法 数轴上的点与实数之间是一一对应的关系,所以点的坐标的大小决定彼此的相互 位置,显然右边的点的
5、坐标要大于左边的点的坐标. 跟踪演练 1 下列各组点中,点 M 位于点 N 左侧的是( ) A.M(2),N(3) B.M(2),N(3) C.M(0),N(6) D.M(0),N(6) 答案 C 解析 A 中,23,点 M(2)位于点 N(3)右侧；B 中,23,点 M(2)位于点 N(3)的右 侧；C 中,06,点 M(0)位于点 N(6)的左侧；D 中,06,点 M(0)位于点 N(6)的右侧. 要点二 数轴上向量的坐标运算 例 2 已知有理数 a 在数轴上对应点 A,将点 A 沿数轴向左平移 3 个单位长度得点 B 后,再向 右平移 2 个单位长度得到点 C,点 C 对应的数是1.5,
6、问：有理数 a 是多少？向量、向量 AB 的坐标分别是多少？ CB 解 先逆向分析变化过程： 点 C(1.5) BA(a). 左移2个单位 右移3个单位 点 B 和点 A 的坐标分别为 B(3.5)和 A(0.5), a0.5, 3.5(0.5)3, AB 3.5(1.5)2. CB 即向量,的坐标分别为3,2. AB CB 规律方法 本题属于点的平移问题,解题时先标出平移过程,根据数轴上点的坐标与实数的对 应关系写出点的坐标,再利用向量坐标的定义写出向量的坐标. 跟踪演练 2 例 2 的条件不变,若将问题改为：若将点 C 再向右平移 2 个单位长度得到点 D, 问向量和向量有什么关系？ CD
7、 BC 解 由题意知,点 D 的坐标为 D(0.5),又点 B,点 C 的坐标分别为 B(3.5),C(1.5), 0.5(1.5)2,1.5(3.5)2, CD BC , CD BC 向量和向量相等. CD BC 要点三 数轴上两点的距离 例 3 已知 M、N、P 是数轴上三点,若|MN|5,|NP|2,求 d(M,P). 解 M、N、P 是数轴上三点,|MN|5,|NP|2, (1)当点 P 在点 M,N 之间时(如图所示) d(M,P)|MN|NP|523； (2)当点 P 在点 M、N 之外时(如图所示) d(M,P)|MN|NP|527. 综上所述：d(M,P)3 或 d(M,P)7
8、. 规律方法 1.解答本类问题时,如果两点的相对位置不确定,一定要注意分类讨论. 2.要明确向量的长度及数量的区别与联系,注意|AB|d(A,B)|xBxA|,ABxBxA. 跟踪演练 3 已知数轴 x 上的点 A,B,C 的坐标分别为1,3,5. (1)求 AB、BA、|AB|、BC、|AC|； (2)若 x 轴上还有两点 E、F,且 AE8,CF4,求点 E、F 的坐标. 解 (1)AB3(1)4；BAAB4； |AB|3(1)|4；BC532； |AC|5(1)|6. (2)设 E、F 点的坐标分别为 xE、xF, 因为 AE8,所以 xE(1)8,有 xE7； 因为 CF4,所以 xF
9、54,有 xF1. 故 E,F 两点坐标分别为 7,1. 1.数轴上 A,B 两点的坐标分别为 x1,x2,则下列式子中不正确的是( ) A.|AB|x1x2|B.|BA|x2x1 C.ABx2x1D.BAx1x2 答案 B 2.在数轴上从点 A(2)引一线段到 B(3),再延长同样的长度到 C,则点 C 的坐标为( ) A.13 B.0 C.8 D.2 答案 C 3.A、B 为数轴上的两点,A 点的坐标是1,AB6,那么点 B 的坐标为( ) A.5 B.7 C.5 或7 D.5 或 7 答案 A 4.已知数轴上两点 A(a),B(5.5),并且 d(A,B)7.5,则 a_；若 AB7.5
10、,则 a_. 答案 2 或 13 2 5.A、B、C、D 是数轴上的任意四点,则 ABBCCDDA_. 答案 0 1.向量的有关概念及表示： 要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标(数量)这几个概念,它们分别用、|、AB 来 AB AB 表示；两个向量相等,必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量,它的长度为 0,方向不确定. 2.向量的有关运算公式： 数轴上向量加法的运算法则是对于数轴上任意三点 A,B,C 都具有 ACABBC(或 ).数轴上的向量坐标公式 ABx2x1(A、B 两点的坐标分别为 x1,x2),即数轴上 AC AB BC 一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标,数轴上两点距离公式 d(A,B)|x2x1|. 3.数轴上向量加法的坐标运算法则： 对数轴上的任意三点,A,B,C 都有 ACABBC,可理解为 AC 的坐标等于首尾相连的两个向 量 AB,BC 的坐标之和.
