《2018版高中数学人教B版必修一学案：第二单元 疑难规律方法 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修一学案：第二单元 疑难规律方法 （22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1函数解析式求解的常用方法一、换元法例1 已知f(1)x2，求f(x)分析采用整体思想，可把f(1)中的“1”看做一个整体，然后采用另一参数替代解令t1，则x(t1)2(t1)，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t21.f(x)x21(x1)评注将接受对象“1”换作另一个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式此法是求函数解析式时常用的方法二、待定系数法例2 已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)的表达式解设f(x)ax2bxc(
2、a0)，则f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c2x24x.故有解得所以f(x)x22x1.评注若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数三、方程消元法例3 已知：2f(x)f()3x，x0，求f(x)解2f(x)f()3x，用去代换式中的x得2f()f(x).由2得f(x)2x，x0.评注方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的.2解读分段函数分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考
3、一、分段函数解读在定义域中，对于自变量x的不同取值范围，相应的对应法则不同，这样的函数称之为分段函数分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应法则)不同而已二、常见的题型及其求解策略1求分段函数的定义域、值域例1 求函数f(x)的值域解当x2时，yx24x(x2)24，y4；当x2时，y，y1.函数f(x)的值域是y|y4解题策略分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集2求分段函数的函数值例2 已知f(x)求f(5)的值解510，f(5)f(f(56)f(f(11)，1110，f(f(11)f(9)，又910，f(9)f
4、(f(15)f(13)11.即f(5)11.解题策略求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理3画出分段函数的图象例3 已知函数f(x)，作出此函数的图象解由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示解题策略分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实4求解分段函数的解析式例4 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月
5、通话时间x(分钟)与相应话费y(元)之间的函数图象如图所示则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y与x之间的函数关系式解(1)由题意可知当0x100时，设函数的解析式ykx，又因过点(100,40)，得解析式为yx，当月通话为50分钟时，050100，所以应交话费y5020元(2)当x100时，设y与x之间的函数关系式为ykxb，由图知x100时，y40；x200时，y60.则有，解得，所以解析式为yx20，故所求函数关系式为y.解题策略以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关键是正确地理解题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量
6、的分界点3合理变形突破单调性的证明由定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，其步骤为：取值作差变形定号其中变形是最关键的一步，合理变形是准确判断f(x1)f(x2)的符号的关键所在本文总结了用定义证明函数单调性中的变形策略一、因式分解例1 求证：函数f(x)x24x在(，2上是减函数证明设x1，x2是(，2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x4x1)(x4x2)(x1x2)(x1x24)因为x1x22，所以x1x20，x1x240.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(，2上是减函数评注因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这
7、样才利于判断f(x1)f(x2)的符号二、配方例2 求证：函数f(x)x31在R上是增函数证明设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x1xx(x1x2)(xx1x2x)(x1x2).因为x1x2，所以x1x20，2x0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在R上是增函数评注本题极易在(x1x2)(xx1x2x)处“止步”而致误而实际上当我们不能直接判断xx1x2x的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明”三、通分例3 已知函数f(x)x，求证：函数f(x)在区间(0,1上是减函数证明设x1，x2是区间(0,1上的任意两个实数
8、，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).因为x1x2，且x1，x2(0, 1，所以x1x20,0x1x21.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(0,1上是减函数评注同样，我们可以证明f(x)x在区间1，)上是增函数四、有理化例4 已知函数f(x)，求证：函数f(x)在区间1，)上是增函数证明设x1，x2是区间1，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x1x2，且x1，x21，)，所以x1x20，0.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在1，)上是增函数评注对于
9、根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断f(x1)f(x2)符号的目的4谈复合函数的单调性设yf(t)是t的函数，tg(x)是x的函数，若tg(x)的值域是yf(t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作yf(t)f g(x)如函数y，若设t1x，则y.这里t是x的函数，y是t的函数，所以y是x的复合函数，把t称为中间变量思考1已知函数yf(t)的定义域为区间m，n，函数tg(x)的定义域为区间a，b，值域Dm，n若yf(t)在定义域内单调递增，tg(x)在定义域内单调递增，那么yfg(x)是否为a，b上的增函数？为什么？答yfg(x)是区间a，b上的增函
10、数证明如下：任取x1，x2a，b，且x1x2，则t1g(x1)，t2g(x2)，且t1，t2m，n因为tg(x)在a，b上递增，所以g(x1)g(x2)，即t1t2，而yf(t)在m，n上递增，故f(t1)f(t2)，即fg(x1)0)当x(，1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，所以(，1)是y的递增区间；当x(1，)时，t是x的增函数，y是t的减函数，所以(1，)是y的递减区间综上知，函数y的递增区间为(，1)，递减区间为(1，)变式 求y的单调区间解由x22x30，得x1或x3，令tx22x3(t0)，则y，因为y在(，0)，(0，)上为减函数，而tx22x3在(，1)，(1,1)上为
11、减函数，在(1,3)，(3，)上是增函数，所以函数y的递增区间为(，1)，(1,1)，递减区间为(1,3)，(3，).5函数单调性的应用一、比较大小例1 若函数f(x)x2mxn，对任意实数x都有f(2x)f(2x)成立，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小解依题意可知f(x)的对称轴为x2，f(1)f(5)f(x)在2，)上是增函数，f(2)f(4)f(5)，即f(2)f(4)f(1)评注(1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间二、解不等式例2 已知yf(x)在定义域(1,1)上是增函数，且f(t1)f(12t)，求实数t的取值范围解依题意可得解得0t0，函数f(x)x3ax是区间1，)上的单调函数，求实数a的取值范围解任取x1，x21，)，且x10.yf(x2)f(x1)(xax2)(xax1)(x2x1)(xx1x2xa)1x13.显然不存在常数a，使(xx1x2xa)恒为负值又f(x)在1，)上是单调函数，必有一个常数a，使xx1x2xa恒为正数，即xx1x2xa.当x1，x21，)时，xx1x2x3，a3.此时，xx2x10，y
