《2018版高中数学人教B版必修二学案：2.3.1 圆的标准方程 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：2.3.1 圆的标准方程 （4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 圆的方程圆的方程 2.3.1 圆的标准方程圆的标准方程 学习目标 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求 圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系. 知识链接 1.平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆. 2.确定一个圆的基本要素是圆心和半径. 3.平面上两点间的距离公式 d. (x2x1)2(y2y1)2 预习导引 1.圆的定义及圆的标准方程 (1)圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 定点圆的圆心；定长圆的半径. (2)圆的标准方程 设圆的圆心是 C(a，b)，半径为 r，则圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2，当圆的圆
2、心在 坐标原点时，圆的半径为 r，则圆的标准方程是 x2y2r2. 2.点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两 种方法： (1)将所给的点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 比较： 若|CM|r，则点 M 在圆上； 若|CM| r，则点 M 在圆外； 若|CM|r，则点 M 在圆内. (2)可利用圆 C 的标准方程(xa)2(yb)2r2来确定： 点 M(m，n)在圆 C 上(ma)2(nb)2r2； 点 M(m，n)在圆 C 外(ma)2(nb)2r2； 点 M(m，n)在圆 C 内(ma)2(nb)2r2. 要点一 点与圆的位置关系
3、 例 1 已知点 A(1,2)不在圆 C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数 a 的取值范围. 解 由题意，点 A 在圆 C 上或圆 C 的外部， (1a)2(2a)22a2， 2a50，a ，又 a0， 5 2 a 的取值范围是(0，). 5 2，0) 规律方法 判断点 P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有几何法与代数法两种， 对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小. 对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下： 当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆外. 跟踪演练 1 点 P(m2,5)与圆 x2y224 的位置关系是( )
4、A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 答案 A 解析 把点 P(m2,5)代入圆的方程 x2y224 得 m42524，故点 P 在圆外. 要点二 求圆的标准方程 例 2 求过点 A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线 xy20 上的圆的标准方程. 解 方法一 设点 C 为圆心，点 C 在直线 xy20 上， 可设点 C 的坐标为(a,2a). 又该圆经过 A，B 两点，|CA|CB|. ， (a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2 解得 a1. 圆心坐标为 C(1,1)，半径长 r|CA|2. 故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24. 方法二 由已知可得线段 AB 的中点坐
5、标为(0,0)，kAB1，所以弦 AB 的垂直 1(1) 11 平分线的斜率为 k1，所以 AB 的垂直平分线的方程为 y01(x0)，即 yx.则圆心是 直线 yx 与 xy20 的交点， 由Error!Error!得Error!Error!即圆心为(1,1)，圆的半径为2， (11)21(1)2 故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24. 规律方法 直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心 坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程. 跟踪演练 2 以两点 A(3，1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A.(x1)2(y2)210 B.(x1)2(y2)
6、2100 C.(x1)2(y2)25 D.(x1)2(y2)225 答案 D 解析 点 A(3，1)和 B(5,5)的中点坐标为(1,2)， 以 A、B 为直径的圆的圆心坐标为(1,2)， 半径 r5. 1 2 (53)2(51)2 所求圆的方程为(x1)2(y2)225. 要点三 圆的方程的综合应用 例 3 已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)，B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 xy10 的距离的最大值和最小值. 解 (1)由已知，得 C(3,0)， r2， |AB| 2 所求方程为(x3)
7、2y24. (2)圆心 C 到直线 xy10 的距离 d2. |301| 12(1)22 P 到直线的最大距离为 22，最小距离为 22. 22 规律方法 解答本题应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过 程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解 此题. 跟踪演练 3 已知圆 C：(x3)2(y4)21，点 A(0，1)，B(0,1)，设 P 是圆 C 上的动点， 令 d|PA|2|PB|2，求 d 的最大值及最小值. 解 设 P(x，y)， 则 d|PA|2|PB|22(x2y2)2. |CO|25225， (51)2x2y2(51)
8、2. 即 16x2y236. d 的最小值为 216234. 最大值为 236274. 1.圆(x2)2(y3)22 的圆心和半径分别是( ) A.(2,3)，1 B.(2，3)，3 C.(2,3)， D.(2，3)， 22 答案 D 2.以原点为圆心，2 为半径的圆的标准方程是( ) A.x2y22 B.x2y24 C.(x2)2(y2)28 D.x2y2 2 答案 B 3.已知两圆 C1：(x5)2(y3)29 和 C2：(x2)2(y1)25，则两圆圆心间的距离为 _. 答案 5 解析 C1圆心为(5,3)，C2圆心为(2，1)，则 d5. (52)2(31)2 4.圆的直径端点为 A(
9、2,0)，B(2，2)，则此圆的标准方程为_. 答案 (x2)2(y1)21 解析 圆心 C(2，1)，半径 r1，圆的标准方程为(x2)2(y1) 1 2 (22)2(02)2 21. 5.若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 yx 对称，则圆 C 的标准方程为_. 答案 x2(y1)21 解析 由题意知圆 C 的圆心为(0,1)，半径为 1，所以圆 C 的标准方程为 x2(y1)21. 1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于 a，b，r 的方程组求 a，b，r 或直接求 出圆心(a，b)和半径 r.另依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题 效率. 2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆 心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.
