《2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 习题课 正弦定理和余弦定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 习题课 正弦定理和余弦定理 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标 1.学会利用三角形中的隐含条件.2.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角 形中的应用.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题 知识点一 有关三角形的隐含条件 思考 我们知道 ysin x 在区间(0，)上不单调，所以由 0 得不到 sin sin .那么 由 A，B 为ABC 的内角且 AB，能得到 sin Asin B 吗？为什么？ 梳理 “三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变 形和结论： (1)由 ABC180可得 sin(AB)_，cos(AB)_， tan(AB)_，sin_， AB 2 cos_. AB 2
2、(2)由三角形的几何性质可得 acos Cccos A_，bcos Cccos B_， acos Bbcos A_. (3)由大边对大角可得 sin Asin BA_B. (4)由锐角ABC 可得 sin A_cos B. 知识点二 解三角形的基本类型 完成下表： 已知条件适用定理解的个数 三边 两边及其夹角 两边及一边对角 _ 或_ 一边及两角 知识点三 三角形有关问题的解决思路 这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式， 再利用三角恒等变换解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等 类型一 利用正弦、余弦定理解三角形 例 1 在ABC 中，
3、若 ccos Bbcos C，cos A ，求 sin B 的值 2 3 引申探究 1对于例 1 中的条件，ccos Bbcos C，能否使用余弦定理？ 2例 1 中的条件 ccos Bbcos C 的几何意义是什么？ 反思与感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段； (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式 跟踪训练 1 在ABC 中，已知 b2ac，a2c2acbc. (1)求 A 的大小； (2)求的值 bsin B c 类型二 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用 例 2 在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，4sin2
4、cos 2A . BC 2 7 2 (1)求 A 的度数； (2)若 a，bc3，求 b 和 c 的值 3 反思与感悟 (1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未 知量的代数方程或三角方程(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所 求角是否符合题意等问题中有着重要的作用 跟踪训练 2 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，a2c2b2 ac.求 2sin2 6 5 sin 2B 的值 AC 2 类型三 正弦、余弦定理与平面向量的综合应用 例 3 在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，cos B ，a7 且21.
5、求 3 5 AB BC 角 C. 反思与感悟 利用向量的有关知识，把问题化归为三角形的边角关系，再结合正弦、余弦定 理解三角形 跟踪训练 3 已知ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，设向量 m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若 mn，则角 B 的大小为_ 3 1在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边分别为 a，b，若 2asin Bb，则角 A 等于( ) 3 A. B. C. D. 12 6 4 3 2在ABC 中，AB3，AC2，BC，则_. 10 BA AC 3已知ABC 中，ax，b2，B45，若这个三角形有两解，则 x 的取值范围是 _
6、4在ABC 中，B60，a1，SABC，则_. 3 2 c sin C 1对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一 为边的关系或把它统一为角的关系再利用三角形的有关知识，三角恒等变换方法、代数恒 等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论 2解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程 思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角 形问题，再利用正弦、余弦定理求解 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 能由于三角形中大边对大角， 当 AB 时，有 ab. 由正弦定理，得 2Rsin A2
7、Rsin B， 从而有 sin Asin B. 梳理 (1)sin C cos C tan C cos sin (2)b a c (3) C 2 C 2 (4) 知识点二 余弦定理 1 余弦定理 1 正弦定理 余弦定理 0,1,2 正弦定理 1 题型探究 类型一 例 1 解 由 ccos Bbcos C， 结合正弦定理，得 sin Ccos Bsin Bcos C， 故 sin(BC)0，0B，0C， BC， BC0，BC，故 bc. cos A ， 2 3 由余弦定理，得 3a22b2， 再由余弦定理，得 cos B， 6 6 故 sin B. 30 6 引申探究 1解 由余弦定理， 得 c
8、b. a2c2b2 2ac a2b2c2 2ab 化简得 a2c2b2a2b2c2， c2b2，从而 cb. 2解 如图， 作 ADBC，垂足为 D. 则 ccos BBD，bcos CCD. ccos Bbcos C 的几何意义为边 AB，AC 在 BC 边上的射影相等 跟踪训练 1 解 (1)由题意知，b2ac cos A ， b2c2a2 2bc acbcac 2bc 1 2 A(0，)，A . 3 (2)由 b2ac，得 ， b c a b sin B sin B bsin B c a b sin A sin B sin A. 3 2 类型二 例 2 解 (1)由 4sin2 cos
9、2A 及 ABC180， BC 2 7 2 得 21cos(BC)2cos2 A1 ， 7 2 4(1cos A)4cos2 A5， 即 4cos2A4cos A10， (2cos A1)20，解得 cos A . 1 2 0A180，A60. (2)由余弦定理，得 cos A. b2c2a2 2bc cos A ， ， 1 2 b2c2a2 2bc 1 2 化简并整理，得(bc)2a23bc， 将 a，bc3 代入上式，得 bc2. 3 则由Error!Error! 解得Error!Error!或Error!Error! 跟踪训练 2 解 由已知得 ， a2c2b2 2ac 3 5 所以 c
10、os B ， 3 5 sin B ， 1cos2B 4 5 所以 2sin2sin 2B AC 2 2cos2sin 2B B 2 1cos B2sin Bcos B 1 2 . 3 5 4 5 3 5 64 25 类型三 例 3 解 21， AB BC 21. BA BC |cos B BA BC BA BC accos B21. ac35， 又a7，c5. cos B ，sin B . 3 5 4 5 由余弦定理， 得 b2a2c22accos B32， b4. 2 由正弦定理，得， c sin C b sin B sin C sin B . c b 5 4 2 4 5 2 2 cb 且 B 为锐角，C 一定是锐角 C45. 跟踪训练 3 150 当堂训练 1D 2. 3.(2,2) 4.2 3 22
