《2018版高中数学人教B版必修一学案：第二单元 2.1.4 函数的奇偶性 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修一学案：第二单元 2.1.4 函数的奇偶性 （11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、21.4 函数的奇偶性函数的奇偶性 学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函 数图象的对称性解决简单问题 知识点一 函数奇偶性的定义 思考 1 为什么不直接用图象关于 y 轴(原点)对称来定义函数的奇偶性？ 思考 2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处？ 梳理 奇、偶函数的概念 偶函数奇函数 对于函数 f(x)的定义域 D 内任意一个 x，都有xD 条件 f(x)_f(x)_定义 结论函数 f(x)叫做偶函数函数 f(x)叫做奇函数 知识点二 奇(偶)函数的定义域特征 思考 如果一个函数 f(x)的定义域是(1,1，那么这个函数 f(x)还具有
2、奇偶性吗？ 梳理 在奇函数和偶函数的定义中，都要求 xD，xD，这就是说，一个函数不论是奇 函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先 原则，即首先要看定义域是否关于_对称 知识点三 函数奇偶性的几何特征 思考 下列函数图象中，关于 y 轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？ 梳理 奇、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以_为对称中心的中心对称图形； 反之，如果一个函数的图象是以_为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇 函数 (2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以_为对称轴的轴对称图形；反之， 如果一个函数的图象关于_
3、对称，则这个函数是偶函数 类型一 判断函数的奇偶性 命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性 例 1 (1)证明 f(x)既非奇函数又非偶函数； x3x2 x1 (2)证明 f(x)(x1)(x1)是偶函数； (3)证明 f(x)既是奇函数又是偶函数 1x2x21 反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对 称，即对于定义域内的任意一个 x，则x 也一定属于定义域 跟踪训练 1 (1)证明 f(x)(x2) 既非奇函数又非偶函数； 2x 2x (2)证明 f(x)x|x|是奇函数 命题角度2 证明分段函数的奇偶性 例 2 判断函数 f(x)Error!Err
4、or!的奇偶性 反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称； (2)对于定义域内的任意 x，是否都有 f(x)f(x)(或f(x)，只不过对于不同的 x，f(x)有不同 的表达式，要逐段验证是否都有 f(x)f(x)(或f(x) 跟踪训练 2 证明 f(x)Error!Error!是奇函数 命题角度3 证明抽象函数的奇偶性 例 3 f(x)，g(x)是定义在 R 上的奇函数，试判断 yf(x)g(x)，yf(x)g(x)，yfg(x)的奇偶 性 反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些 新函数的奇偶性，主要是代入
5、x，看总的结果 跟踪训练 3 设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论 中正确的是( ) Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数 Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数 类型二 奇偶性的应用 命题角度1 奇偶函数图象的对称性的应用 例 4 定义在 R 上的奇函数 f(x)在0，)上的图象如图所示 (1)画出 f(x)的图象； (2)解不等式 xf(x)0. 引申探究 把例 4 中的“奇函数”改为“偶函数” ，重做该题 反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y 轴)对称，可以用这一特性去画图，求
6、值，求解 析式，研究单调性 跟踪训练 4 已知奇函数 f(x)的定义域为5,5，且在区间0,5上的图象如图所示 (1)画出在区间5,0上的图象； (2)写出使 f(x)0 时，f(x)x1，求当 x0 时，f(x)2xx2.求 yf(x)的解 析式 1下列函数为偶函数的是( ) Af(x)x1 Bf(x)x2x Cf(x)2x2x Df(x)2x2x 2函数 f(x)x(10， f(x)x2，f(x)x2， f(x)f(x)； 若 x0，则x0 即图象上横坐标、纵坐标同号结合图象可知，xf(x)0 的解集是(2,0)(0,2) 引申探究 解 (1)f(x)的图象如图所示： (2)xf(x)0
7、的解集是(，2)(0,2) 跟踪训练 4 解 (1)如图，在0,5上的图象上选取 5 个关键点 O，A，B，C，D. 分别描出它们关于原点的对称点 O，A，B，C，D， 再用光滑曲线连接即得 (2)由(1)图可知，当且仅当 x(2,0)(2,5)时，f(x)0， f(x)(x)1x1， 又函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， f(x)f(x)x1， f(x)x1. 当 x0， 因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)f(x)2(x)(x)22xx2. 因为 yf(x)是 R 上的奇函数， 所以 f(0)0. 所以 f(x)Error!Error! 当堂训练 1D 2.C 3.D 4.B 5.x1
