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1、22.2 二次函数的性质与图象二次函数的性质与图象 学习目标 1.掌握二次函数的概念，能用“描点法”作二次函数的图象.2.掌握二次函数解析 式的基本形式，会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性质.4. 会求二次函数在给定区间上的最值 知识点一 二次函数的概念 思考 结合一次函数的特征，请给出二次函数的定义、定义域？ 梳理 1.二次函数的定义 函数_叫做二次函数，定义域为 R. 2二次函数的解析式 (1)一般式：yax2bxc(a0) (2)顶点式：ya(xh)2k，其中(h，k)为顶点 (3)两根式：ya(xx1)(xx2)，其中 x1，x2为方程 ax2bxc0(
2、a0)的根 知识点二 二次函数的图象与性质 思考 1 二次函数的图象是一条抛物线，那么哪一个是影响图象的开口方向？ 思考 2 二次函数的图象是轴对称图形，那么对称轴的位置与哪些量有关？对称轴方程是什 么？ 梳理 二次函数的性质与图象 a0a0 图象 图象 特点 (1)对称轴：_ (2)顶点：_ 定义域R 值域 4acb2 4a ，) (， 4acb2 4a 奇偶性b0 时为偶函数，b0 时为非奇非偶函数 单调性 _为减区间， _为增区间 _为增区间，_为 减区间 最值 抛物线有最低点， 当 x时，y 有最小值 b 2a ymin_ 抛物线有最高点， 当 x时，y 有最大值 b 2a ymax_
3、 类型一 二次函数的图象 例 1 画出函数 f(x)x22x3 的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较 f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若 x1x21，比较 f(x1)与 f(x2)的大小； (3)由图象判断 x 为何值时，y0，y0，y0. 反思与感悟 观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定 a 的符号，在 y 轴上的交点决 定 c 的符号(值)，对称轴的位置决定的符号另外，还要注意与 x 轴的交点，函数的单 b 2a 调性等，从而解决其他问题 跟踪训练 1 已知二次函数 y2x24x6. (1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (2)由
4、图象判断 x 为何值时，y0，y0，y0. 类型二 二次函数的对称性与单调性 例 2 已知函数 f(x)x2ax 的单调增区间为(2，) (1)求参数 a 的值；(2)求对称轴方程；(3)求在 R 上的最小值 引申探究 1若 f(x)x2ax 在(2，)上单调递增，则 a 的取值范围为_ 2若 f(x)x2ax 在1,3上单调，求 a 的范围 反思与感悟 (1)利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题解答此类 问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系 (2)比较二次函数函数值的大小的方法 若抛
5、物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小 若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大 跟踪训练 2 已知函数 yax2(a1)x 在1，)上是减函数，求 a 的范围 1 4 类型三 二次函数在给定区间上的最值的求法 引申探究 1若求 f(x)x22ax2 在2,4上的最大值，如何分类？ 2若 f(x)x22ax2 在2,4上的最大值为 10，求 a 的值 3若 f(x)x22ax2，当 x2,4时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围例 3 求二次函数 f(x)x22ax2 在2,4上的最小值 反思与感悟 二次函数最值问题的解题策略 (1)确定对称轴，抛物线的开口方向，作图 (2)在图象上
6、标出定义域的位置 (3)观察单调性写出最值 跟踪训练 3 已知函数 f(x)x22ax2a. (1)若函数 f(x)没有零点，求实数 a 的取值范围； (2)若 x1,2时，f(x)2 恒成立，求实数 a 的取值范围 1函数 yx22x2 的图象的顶点坐标是( ) A(2，2) B(1，2) C(1，3) D(1，3) 2已知一元二次函数 yx22x4，则函数( ) A对称轴为 x1，最大值为 3 B对称轴为 x1，最大值为 5 C对称轴为 x1, 最大值为 5 D对称轴为 x1，最小值为 3 3二次函数 y4x2mx5 的对称轴为 x2，则当 x1 时，y 的值为( ) A7 B1 C17
7、D25 4若二次函数 y3x22(a1)xb 在区间(，1上为减少的，则( ) Aa2 Ba2 Ca2 Da2 5函数 f(x)x22x1 在2，1上的最大值是_，最小值是_ 1.画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口” “三点”中有一个点是顶点， 另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴这 条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向 2若求二次函数在某闭(或开)区间(非 R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类 讨论： (1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域； (2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点
8、处或对称轴处取得，比较 三个数所对应函数值的大小即可求出值域 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 函数 yax2bxc(a0)叫二次函数，定义域为 R. 梳理 1yax2bxc(a0) 知识点二 思考 1 x2的系数 a 影响开口方向 思考 2 对称轴的位置与 a，b 两个量有关 对称轴为 x. b 2a 梳理 x b 2a ( b 2a， 4acb2 4a ) (， b 2a) ( b 2a，) (， b 2a) ( b 2a，) 4acb2 4a 4acb2 4a 题型探究 例 1 解 f(x)x22x3(x1)24 的图象如图所示 (1)由图可知，二次函数 f(x)的图象对称轴为
9、 x1 且开口向下，且|01|31|，故 f(1)f(0) f(3) (2)x1x21， |x11|x21|， f(x1)f(x2) (3)由图可知： 当 x3 或 x1 时，y0； 当 x1 或 x3 时，y0； 当1x3 时，y0. 跟踪训练 1 解 (1)由 y2x24x62(x1)28， 图象如图： 由图象可知，函数图象开口向上， 对称轴是直线 x1，顶点坐标是(1，8) (2)由图象可知，x3，或 x1 时，y0； x1 或 x3 时，y0；1x3 时，y0. 例 2 解 (1)f(x)x2ax(x )2， a 2 a2 4 f(x)的单调增区间为. ( a 2，) 又 f(x)的单
10、调增区间为(2，)， 2 即 a4. a 2 (2)对称轴方程为 x2. (3)f(x)minf(2)4. 引申探究 1(，4 解析 2，a4. a 2 2解 f(x)x2ax 在1,3上单调， 区间必在对称轴 x 的一侧， a 2 1 或 3， a 2 a 2 a2 或 a6， 即 a(，26，) 跟踪训练 2 解 (1)当 a0 时，yx 在1，)上是减函数 1 4 (2)当 a0 时，在上为增函数，不合题意 ( a1 2a ，) (3)当 a0 时，在上为减函数， ( a1 2a ，) 1，即 a ， a1 2a 1 3 a0. 综上所述 a(，0 例 3 解 f(x)x22ax2 的对
11、称轴为 xa 且开口向上 当 a2 时，f(x)在2,4上为增函数 f(x)minf(2)64a. 当 2a4 时，f(x)minf(a)2a2. 当 a4 时，f(x)在2,4上为减函数， f(x)minf(4)188a. 综上所述：f(x)minError!Error! 引申探究 1解 区间2,4的中点为 3. f(x)x22ax2 的对称轴为 xa 且开口向上， 当 a3 时，f(x)maxf(4)188a， 当 a3 时，f(x)maxf(2)64a. 综上所述：f(x)maxError!Error! 2解 由探究 1 知，当 a3 时， f(x)max188a10， a1； 当 a3
12、 时，f(x)max64a10， a1(舍) 综上所述：a1. 3解 由探究 1 知： 当 a3 时，f(x)max188aa 恒成立， a2，即 a2,3 当 a3 时，f(x)max64aa， a ，a3. 6 5 综上所述：a2，) 跟踪训练 3 解 (1)(2a)28a0， 解得 0a2. (2)f(x)x22ax2a，对称轴为 xa. 当 a2 时，f(x)minf(2)42a2， 解得 2a3. 当1a2 时，f(x)minf(a)a22a2， 解得 1a2. 3 当 a1 时，f(x)minf(1)14a2， 解得 a. 综上所述，a 的取值范围是1，3 3 当堂训练 1D 2.C 3.D 4.B 5.2 7
