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1、分数知多少分数有一个久远的历史，可能要追溯到3000年前的埃及了，3000多年前，古埃及为了在不能分得整数的情况下表示数，用特殊符号表示分子为1的分数。2000多年前，中国有了分数，但是，秦汉时期的分数的表现形式跟现在不一样。后来，印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后，阿拉伯人发明了分数线，今天分数的表示法就由此而来。分数有分子、分母和分数线，比如：，5是分母，2是分子，中间一横是分数线。在我们的日常生活中，我们也经常会用到分数，比如一块西瓜切成8份，分给8个人，每人分得。分数发展历史(1)分数在我们中国很早就有了，最初分数的表现形式跟现在不一样。后来，印度出现了和我国相似的分数表示法。再
2、往后，阿拉伯人发明了分数线,分数的表示法就成为现在这样了。200多年前，瑞士数学家欧拉，在通用算术一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它如果我们把它分成三等份，每份是米像就是一种新的数，我们把它叫做分数。为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征。例如，一个西瓜四个人平均分，不把它分成相等的四块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要除法运算的需要而产生的。算筹是中国古代的计算工具，真正意义上的中国古代数学体系形成于自西汉至南北朝的三、四百年期间。算数书成书于西汉初年，是传世的中国最早的数学专著，它是1984年由考古学
3、家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中发现的。周髀算经编纂于西汉末年，它虽然是一本关于“盖天说”的天文学著作，但是包括两项数学成就（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”这是中国最早关于勾股定理的书面记载）；（2）测太阳高或远的“陈子测日法”。九章算术在中国古代数学发展过程中占有非常重要的地位。它经过许多人整理而成，大约成书于东汉时期。全书共收集了246个数学问题并且提供其解法，主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，九章算术在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学
4、讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。注重实际应用是九章算术的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。九章算术标志以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成。中国古代数学在三国及两晋时期侧重于理论研究，其中以赵爽与刘徽为主要代表人物。分数发展历史(2)赵爽学术成就体现于对周髀算经的阐释。在勾股圆方图注中，他还用几何方法证明了勾股定理，其实这已经体现“割补原理”的方法。用几何方法求解二次方程也是赵爽对中国古代数学的一大贡献。三国时期魏人刘徽则注释了九章算术，其著作九章算术注不仅对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且系统地阐述了中国传
5、统数学的理论体系与数学原理，并且多有创造。其发明的“割圆术”（圆内接正多边形面积无限逼近圆面积），为圆周率的计算奠定了基础，同时刘徽还算出圆周率的近似值“（3.1416）”。他设计的“牟合方盖”的几何模型为后人寻求球体积公式打下重要基础。在研究多面体体积过程中，刘徽运用极限方法证明了“阳马术”。另外，海岛算经也是刘徽编撰的一部数学论著。南北朝是中国古代数学的蓬勃发展时期，计有孙子算经、夏侯阳算经、张丘建算经等算学著作问世。祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性。他们着重进行数学思维和数学推理，在前人刘徽九章算术注的基础上前进了一步。根据史料记载，其著作缀术（已失传）取得如下成就：圆周率精确
6、到小数点后第六位，得到3.14159263.1415927，并求得的约率为，密率为，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值；欧洲直到16世纪德国人鄂图（Otto）和荷兰人安托尼兹（Anthonisz）才得出同样结果。祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积公式，并提出二立体等高处截面积相等则二体体积相等（“幂势既同则积不容异”）定理；欧洲17世纪意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理祖氏父子同时在天文学上也有一定贡献。分数发展历史(3)隋唐时期的主要成就在于建立中国数学教育制度，这大概主要与国子监设立算学馆及科举制度有关。在当时的算学馆算经十书成为专用教材对学生讲授。算经十书收
7、集了周髀算经、九章算术、海岛算经等10部数学著作。所以当时的数学教育制度对继承古代数学经典是有积极意义的。公元600年，隋代刘焯在制订皇极历时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式；唐代僧一行在其大衍历中将其发展为不等间距二次内插公式。从公元11世纪到14世纪的宋、元时期，是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其表现是这一时期涌现许多杰出的数学家和数学著作。中国古代数学以宋、元数学为最高境界。在世界范围内宋、元数学也几乎是与阿拉伯数学一道居于领先集团的。贾宪在黄帝九章算法细草中提出开任意高次幂的“增乘开方法”，同样的方法至1819年才由英国人霍纳发现；贾宪的二项式定理系数表与17世纪欧洲
8、出现的“巴斯加三角”是类似的。遗憾的是贾宪的黄帝九章算法细草书稿已佚。秦九韶是南宋时期杰出的数学家。1247年，他在数书九章中将“增乘开方法”加以推广，论述了高次方程的数值解法，并且例举20多个取材于实践的高次方程的解法（最高为十次方程）。16世纪意大利人菲尔洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶还对一次同余式理论进行过研究。李冶于1248年发表测圆海镜，该书是首部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，在数学史上具有里程碑意义。尤其难得的是，在此书的序言中，李冶公开批判轻视科学实践活动，将数学贬为“贱技”、“玩物”等长期存在的士风谬论。公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在详解九章算法中
9、用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在乘除通变本末中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订授时历时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著四元玉鉴，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（Bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年间牛顿（New
10、ton）才提出内插法的一般公式。14世纪中、后叶明王朝建立以后，统治者奉行以八股文为特征的科举制度，在国家科举考试中大幅度消减数学内容，于是自此中国古代数学便开始呈现全面衰退之势。明代珠算开始普及于中国。1592年程大位编撰的直指算法统宗是一部集珠算理论之大成的著作。但是有人认为，珠算的普及是抑制建立在筹算基础之上的中国古代数学进一步发展的主要原因之一。由于演算天文历法的需要，自16世纪末开始，来华的西方传教士便将西方一些数学知识传入中国。数学家徐光启向意大利传教士利马窦学习西方数学知识，而且他们还合译了几何原本的前6卷（1607年完成）。徐光启应用西方的逻辑推理方法论证了中国的勾股测望术，因
11、此而撰写了测量异同和勾股义两篇著作。邓玉函编译的大测2卷、割圆八线表6卷和罗雅谷的测量全义10卷是介绍西方三角学的著作。一个数的几分之几是多少？“一个数的几分之几是多少”，抽象成数学模型是“甲数是乙数的几分之几”。在这里，“几分之几”是描述甲数和乙数两种之间关系的分率，“是”和“的”是关键词，“是”有时候被“相当于”或“为”等替代。关键词“是”相当于数学符号“”，关键词“的” 相当于数学符号“”。有时候分率句省略了单位“1”，要注意补全。“甲数乙数几分之几”。九章算术九章算术于公元前一世纪成书，至此时已3000余年光和大司农斛、权(179年)“依黄钟律历、九章算术”制造，说明它至晚在东汉已成为
12、官方认定的经典著作九章算术包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，奠定了中国古算的基本框架；提出了上百个公式、解法，有完整的分数四则运算法则，比例和比例分配算法，若干面积、体积公式，开平方、开立方程序，盈不足算法，方程术即线性方程组解法，正负数加减法则，解勾股形公式和简单的测望问题算法，其中许多成就在世界上处于领先地位，形成了中国古算以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了中国古算密切联系实际的风格；在编排上，九章算术或者先提出术文，后列出几个例题，或者先列出一个或几个例题，后提出术文，确立了中国古算以术文(公式、解法)挈领应用问题的基本形式公元元年前后，盛极一时
13、的古希腊数学走向衰微，九章算术成书标志着世界数学研究重心从地中海沿岸转到了中国，开创了东方以算法为中心的数学占据世界数学舞台主导地位千余年的局面。九章算术中的分数乘法九章算术是中国古代数学专著，这是世界上最早的印刷本数学书。它的出现标志着中国古代数学体系的正式形成。后世的数学家大都是从九章算术开始学习和研究数学知识的。九章算术共收有246个数学问题，分为九章，分别是：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。九章算术是世界上最早系统叙述分数四则运算的著作。一下是九章算术中有关分数乘法的叙述。今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？答曰：三十五分步之十二。又有天广九分步之七，
14、从十一分步之九。问为田几何？答曰：十一分步之七。又有田广五分步之四，从九分步之五。问为田几何？答曰：九分步之四。刘徽与九章算术九章算术有不容忽视的缺点：对所有概念没有定义；对所有术文没作任何推导、证明；各章的编排或者按应用，或者按方法，或者两者混杂，不尽合理东汉以后许多学者如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过九章算术，这些研究无疑成为刘徽“采其所见”的资料，然好象仍停留在以某种方式验证的阶段，对九章算术的许多关键性公式、解法并未严格证明，对其中某些不精确或失误处，并未指出，理论建树不大。 面对这样的数学遗产，刘徽的业绩不言而喻主要体现在数学证明和数学理论上。率计算的纲纪 九章算术上百
15、个公式、解法，每个都是一种算法，除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代计算理论对算法的要求刘徽九章算术注的主要篇幅是通过“析理以辞、解体用图”对其算法的正确性进行证明，对诸算法间的内部联系及其应用进行论述 为了用计算解决一个问题，关键是要根据问题的条件找到一种量作标准，进而找到诸量之间的关系中国古代数学概念“率”承担了这个职责“率”的本意是规格、标准、法度孟子尽心上：“羿不为拙射变其彀率”墨子备城门：“城下楼卒，率一步一人，二十步二十人，城大小以此率之”反映了“率”逐步转化成一个数学概念的过程九章算术的许多术文和问题题设应用了率，提出了“今有术”和勾股数通解公式等重要成就，然有的应用却偏离了约定俗成的内涵刘徽则大大发展了率的思想，从而把九章算术的算法提高到系统理论的高度。 刘徽关于“率”的定义是：“凡数相与者谓之率。”“相与”即相关，这里是一种线性相关。“数”实际上是一组量现今的比率是最直观且应用最广泛的一种率关系，但是，率的涵义却比比率要深刻、广泛得多由率的定义，刘徽得出率的重要性质：“凡所得率知，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已”即一组成率的数，在投入运算时，其中一个缩小或扩大某倍数，则其余的数必须同时缩小或扩大同一倍数根据率的这一性质，刘徽提出了乘、约、齐
