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1、,抛物线的简单性质,江门市杜阮华侨中学 杨清孟,一、温故知新,(一) 圆锥曲线的统一定义,平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e1时，是双曲线 .,当0e1时，是椭圆；,(定点F不在定直线l上),当e=1时，是抛物线 .,(二) 抛物线的标准方程,(1)开口向右,y2 = 2px (p0),(2)开口向左,y2 = -2px (p0),(3)开口向上,x2 = 2py (p0),(4)开口向下,x2 = -2py (p0),x轴,x轴,y轴,y轴,由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?,即点
2、(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.,则 (-y)2 = 2px,若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0.,即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。,由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.,F,A,B,y2=2px,2p,过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
3、,|AB|=2p,2p越大，抛物线张口越大.,归纳: (1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)、抛物线的离心率是确定的，为, 、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.,因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），,解法1：,所以设方程为：,因此所求抛物线标准方程为：,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），求它的标准方程，并用描点法画出图形。,三、典例精析,作图：,(1)列表（在第一象限内取值列表
4、）,(2)描点：,(3)连线：,先描出在第一象限的曲线,利用对称性,再作出第四象限的曲线.,解法二：,抛物线关于x轴对称,设抛物线的标准方程为y2=2x,点M在抛物线上,（ )2=22,解之： =2,故所求抛物线的标准方程为： y2=4x,M(2, ),（其中P0且待定）,y2=2Px,x 2=2Py,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），求它的标准方程，并用描点法画出图形。,探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。,抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。,灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照
5、灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。,平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。,所在平面内建立直 角坐标系,使反射镜 的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.,例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源 位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深 40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。,x,y,O,(40,30),解:,在探照灯的轴截面,设抛物线的标准方程为:y2=2px,由条件可得A (40,30),代入方程得:,302=2p40,解之: p=,故所求抛物线的标准方程为: y2= x,焦点为( ,0),（
6、1）已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P = 。,（2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ， 则焦点到AB的距离为 。,4,2,（3）已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两 点，那么线段AB的中点坐标是 。,四、课堂练习,五、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的，等于；,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.,1、范围：,2、对称性：,3、顶点：,4、离心率：,5、通径：,6、光学性质：,从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.,
