《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 四 柱坐标系与球坐标系简介 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 四 柱坐标系与球坐标系简介 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、四柱坐标系与球坐标系简介 对应学生用书P10 1柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面 上的射影为 Q，用(，)(0,02)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这 时点 P 的位置可用有序数组(，z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点 与有序数组(，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系，有序数组(，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(，z)，其中 0,02，zR. (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为Error!Error! 2球坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标
2、系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记 |OP|r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 ，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 .这样点 P 的位置就可以用 有序数组(r，)表示这样，空间的点与有序数组(r，)之间建立了一种 对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有 序数组(r，)叫做点 P 的球坐标，记作 P(r，)，其中 r0,0，02. (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为Error!Error! 对应学生用书P10 柱坐标与直角坐标的互相转化 例 1
3、 (1)设点 A 的直角坐标为(1， ，5)，求它的柱坐标 3 (2)已知点 P 的柱坐标为，求它的直角坐标 (4， 3，8) 思路点拨 直接利用公式求解 解 (1)由变换公式Error!Error! 即 212()24，2. 3 tan ，又 x0，y0，点 A 在第一象限 y x3 ，点 A 的柱坐标为. 3 (2， 3，5) (2)由变换公式Error!Error!得： x4cos 2，y4sin 2，z8. 3 33 点 P 的直角坐标为(2,2，8) 3 由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(，z)，代入 变换公式Error!Error!求 ，也可利用 2x2y2，求
4、. 利用 tan 求 ，在求 的时候特别注意角 所在的象限，从而确定 的 y x 值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标. 1已知点 M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标 解： 1. x2y20212 x0，y0， . 2 点 M 的柱坐标为. (1， 2，2) 2已知点 N 的柱坐标为，求它的直角坐标 (2， 2，3) 解：由变换公式Error!Error!得 x2cos 0，y2sin 2， 2 2 故点 N 的直角坐标为(0,2,3). 球坐标与直角坐标的互相转化 例 2 (1)已知点 P 的球坐标为求它的直角坐标 (4， 3 4 ， 4) (2)已知点 M 的直角坐标为(2，2，2
5、)，求它的球坐标 2 思路点拨 直接套用坐标变换公式求解 解 (1)由变换公式得： xrsin cos 4sin cos 2. 3 4 4 yrsin sin 4sinsin 2. 3 4 4 zrcos 4cos2. 3 42 故其直角坐标为(2,2，2) 2 (2)由坐标变换公式，可得 r4. x2y2z222222 22 由 rcos z2， 2 得 cos ，. 2 2 r 2 2 3 4 又 tan 1，(M 在第三象限)， y x 3 4 从而知 M 点的球坐标为. (4， 3 4 ，3 4) 由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，)，利用变换公式 Error!Error!
6、求出 r， 即可；也可以利用 r2x2y2z2，tan ，cos 来 y x z r 求要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚 和 所在的位置. 3求下列各点的直角坐标： (1)M；(2)N. (2， 6， 3) (2， 3 4 ，7 6) 解：(1)由变换公式得： xrsin cos 2sin cos ， 6 3 1 2 yrsin sin 2sin sin ， 6 3 3 2 zrcos 2cos . 63 故其直角坐标是. ( 1 2， 3 2 ， 3) (2)由变换公式得： xrsin cos 2sincos. 3 4 7 6 6 2 yrsin sin 2sinsin. 3 4
7、7 6 2 2 zrcos 2cos. 3 42 故其直角坐标为. ( 6 2 ， 2 2 ， 2) 4求下列各点的球坐标： (1)M(1， ，2)；(2)N(1,1，) 32 解：(1)由变换公式得： r2. x2y2z212 32222 由 zrcos 得 cos . z r 2 2 2 2 2 ， 4 又 tan ，x0，y0， y x 3 13 ， 3 它的球坐标为. (2 2， 4， 3) (2)由变换公式得： r2. x2y2z21212 22 由 zrcos 得：cos . z r 2 2 . 3 4 又 tan 1.x0，y0. y x 1 1 . 3 4 它的球坐标为. (2
8、， 3 4 ，3 4) 对应学生用书P12 一、选择题 1在球坐标系中，方程 r2 表示空间的( ) A球 B球面 C圆 D直线 解析：r2，表示空间的点到原点的距离为 2，即表示球心在原点，半径 为 2 的球面 答案：B 2点 P 的柱坐标是，则其直角坐标为( ) (4， 5 4 ，3) A(2，2，3) B(2，2，3) 2222 C(2，2，3) D(2，2，3) 2222 解析：xcos 4cos2， 5 42 ysin 4sin2， 5 42 故其直角坐标为(2，2，3) 22 答案：C 3设点 M 的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为( ) 2 A. B. (2， 4， 4)
9、(2， 4， 5 4) C. D. (2， 5 4 ， 4) (2， 3 4 ， 4) 解析：由坐标变换公式，得 r2， x2y2z2 cos ， . z r 2 2 4 tan 1，x0，y0，. y x 1 1 5 4 M 的球坐标为. (2， 4， 5 4) 答案：B 4在直角坐标系中，(1,1,1)关于 z 轴对称点的柱坐标为( ) A. B. ( 2，3 4 ，1) ( 2， 4，1) C. D. ( 2，5 4 ，1) ( 2，7 4 ，1) 解析：(1,1,1)关于 z 轴的对称点为(1，1,1)，它的柱坐标为. ( 2，5 4 ，1) 答案：C 二、填空题 5点 P 的柱坐标为
10、，则点 P 到原点的距离为_ (4， 6，3) 解析：xcos 4cos 2， 63 ysin 4sin 2. 6 即点 P 的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为 3 5. 2 30220230225 答案：5 6已知点 M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，)，则 tan _，tan _. 解析：如图所示， tan ， x2y2 z 5 3 tan 2. y x 答案： 2 5 3 7在球坐标系中 A和 B的距离为_ (2， 4， 4) (2， 3 4 ，3 4) 解析：A，B 两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)， 2 B(1,1，) 2 |AB|2. 112112 2 2
11、23 答案：2 3 三、解答题 8设点 M 的直角坐标为(1,1，)，求点 M 的柱坐标与球坐标 2 解：由坐标变换公式，可得 ，tan 1， (点(1,1)在 x2y22 y x 4 平面 xOy 的第一象限) r2.由 rcos z(0)，得 cos x2y2z21212 222 ， . 2 r 2 2 4 所以点 M 的柱坐标为， ( 2， 4， 2) 球坐标为. (2， 4， 4) 9设地球的半径为 R，在球坐标系中，点 A 的坐标为(R,45，70)，点 B 的坐标为(R,45，160)，求 A，B 两点间的球面距离 解：设纬度圈的圆心为 O，地球球心为 O，如图，OAOBR，由点
12、A，B 的球坐标可知，BOO45，AOO45，这两个点都在北纬 90 4545圈上 则xOQ70，xOH160， AOB1607090. OBR，OBOAR， 2 2 ABR.则 AOBOABR. AOB60， 2R R. AB 1 6 1 3 即 A，B 两点间的球面距离为 R. 1 3 10.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，如图所示建 立空间直角坐标系 Axyz，以 Ax 为极轴求点 C1的直角坐标、 柱坐标以及球坐标 解：点 C1的直角坐标为(1,1,1)，设点 C1的柱坐标为(，z)，球坐标为 (r，)， 其中 0，r0,0，02， 由坐标变换公式Error!Error!且Error!Error! 得Error!Error!且Error!Error! 得Error!Error!且Error!Error! 结合图形，得 ，由 cos 得 tan . 4 3 32 所以点 C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为， ( 2， 4，1) 球坐标为，其中 tan ，0. ( 3， 4)2
