《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 二 1. 椭圆的参数方程 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 二 1. 椭圆的参数方程 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二圆锥曲线的参数方程 1椭圆的参数方程 对应学生用书P22 椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆1 的参数方程是Error!Error!( 是参 x2 a2 y2 b2 数)，规定参数 的取值范围是0,2) (2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为1，则其参数方程为 xh2 a2 yk2 b2 Error!Error!( 是参数) 对应学生用书P22 椭圆的参数方程的应用：求最值 例 1 已知实数 x，y 满足1， x2 25 y2 16 求目标函数 zx2y 的最大值与最小值 思路点拨 将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三 角函数求最值问题 解 椭圆1 的参
2、数方程为Error!Error! x2 25 y2 16 ( 为参数) 代入目标函数得 z5cos 8sin cos(0) 5282 cos(0)(tan 0 ) 89 8 5 所以目标函数 zmin，zmax. 8989 利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式 转化为三角函数求解 1已知椭圆1，点 A 的坐标为(3,0)在椭圆上找一点 P，使点 P x2 25 y2 16 与点 A 的距离最大 解：椭圆的参数方程为Error!Error!( 为参数) 设 P(5cos ，4sin )，则 |PA| 5cos 324sin 29cos230cos 25 |3cos
3、5|8， 3cos 52 当 cos 1 时，|PA|最大 此时，sin 0，点 P 的坐标为(5,0). 椭圆参数方程的应用：求轨迹方程 例 2 已知 A，B 分别是椭圆1 的右顶点和上顶点，动点 C 在该 x2 36 y2 9 椭圆上运动，求ABC 的重心 G 的轨迹方程 思路点拨 由条件可知，A，B 两点坐标已知，点 C 在椭圆上，故可设出 点 P 坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解 解 由题意知 A(6,0)、B(0,3)由于动点 C 在椭圆上运动，故可设动点 C 的坐标为(6cos ，3sin )，点 G 的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可 得 Error!
4、Error!即Error!Error! 消去参数 得到(y1)21. x22 4 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数 方程显得很简单，运算更简便 2已知椭圆方程是1，点 A(6,6)，P 是椭圆上一动点，求线段 PA x2 16 y2 9 中点 Q 的轨迹方程 解：设 P(4cos ，3sin )，Q(x，y)，则有 Error!Error!即Error!Error!( 为参数) 9(x3)216(y3)236，即为所求 3设 F1、F2分别为椭圆 C：1(ab0)的左、右两个焦点 x2 a2 y2 b2 (1)若椭圆 C 上的点 A(1， )到 F1，F2的距离
5、之和等于 4，写出椭圆 C 的方 3 2 程和焦点坐标； (2)设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 F1P 的中点的轨迹方程 解：(1)由椭圆上点 A 到 F1，F2的距离之和是 4， 得 2a4，即 a2. 又点 A(1， )在椭圆上， 3 2 因此 1，得 b23， 1 4 3 2 2 b2 于是 c2a2b21， 所以椭圆 C 的方程为1， x2 4 y2 3 焦点坐标为 F1(1,0)，F2(1,0) (2)设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为(2cos ，sin )，线段 F1P 的中点坐标 3 为(x，y)，则 x，y， 2cos 1 2 3sin 0 2 所以 x cos
6、 ，sin . 1 2 2y 3 消去 ，得(x )21. 1 2 4y2 3 即为线段 F1P 中点的轨迹方程. 椭圆参数方程的应用：证明定值 例 3 已知椭圆y21 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 x2 4 B1、B2的连线分别交 x 轴于 P、Q 两点，求证：|OP|OQ|为定值 思路点拨 利用参数方程，设出点 M 的坐标，并由此得到直线 MB1，MB2的方程，从而得到 P、Q 两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|OQ| 的值 证明 设 M(2cos ，sin )， 为参数，B1(0，1)，B2(0,1) 则 MB1的方程：y1x， sin 1 2cos 令 y0，则
7、 x，即|OP|. 2cos sin 1 | 2cos 1sin | MB2的方程：y1x， sin 1 2cos 令 y0，则 x. 2cos 1sin |OQ|. | 2cos 1sin | |OP|OQ|4. | 2cos 1sin | | 2cos 1sin | 即|OP|OQ|4 为定值 利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或 恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值 即可 4曲线Error!Error!(ab0)上一点 M 与两焦点 F1、F2所成角为F1MF2. 求证：F1MF2的面积为 b2tan . 2 证明：M 在
8、椭圆上， 由椭圆的定义，得： |MF1|MF2|2a，两边平方， 得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2. 在F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos |F1F2|24c2. 由两式，得|MF1|MF2|. b2 cos2 2 故 SF1MF2 |MF1|MF2|sin b2tan . 1 2 2 对应学生用书P24 一、选择题 1椭圆Error!Error!( 为参数)，若 0,2，则椭圆上的点(a,0)对应的 ( ) A B. 2 C2 D. 3 2 解析：点(a,0)中 xa，aacos ，cos 1，. 答案：A 2把椭圆的普通方程
9、9x24y236 化为参数方程是( ) A.Error!Error!( 为参数) B.Error!Error!( 为参数) C.Error!Error!( 为参数) D.Error!Error!( 为参数) 解析：把椭圆的普通方程 9x24y236 化为1，则 b2，a3， x2 4 y2 9 其参数方程为Error!Error!( 为参数) 答案：B 3已知椭圆的参数方程Error!Error!(t 为参数)，点 M 在椭圆上，对应参数 t ， 3 点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为( ) A. B 3 3 3 C2 D2 33 解析：点 M 的坐标为(1,2)， 3 kOM2. 3 答
10、案：C 4两条曲线的参数方程分别是Error!Error!( 为参数)和Error!Error!(t 为参数)，则其交 点个数为( ) A0 B1 C0 或 1 D2 解析：由Error!Error! 得 xy10(1x0， 1y2)， 由Error!Error!得1.如图所示，可知两 x2 9 y2 4 曲线交点有 1 个 答案：B 二、填空题 5椭圆Error!Error!( 为参数)的离心率为_ 解析：椭圆方程为1，可知 a5，b4， x2 25 y2 16 c3，e . a2b2 c a 3 5 答案： 3 5 6实数 x，y 满足 3x24y212，则 2xy 的最大值是_ 3 解析
11、：因为实数 x，y 满足 3x24y212， 所以设 x2cos ，ysin ，则 3 2xy4cos 3sin 5sin()， 3 其中 sin ，cos . 4 5 3 5 当 sin()1 时，2xy 有最大值为 5. 3 答案：5 7(湖南高考)在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：Error!Error!(t 为参数)与曲线 C2：Error!Error!( 为参数，a0)有一个公共点在 x 轴上，则 a_. 解析：曲线 C1的普通方程为 2xy3，曲线 C2的普通方程为1， x2 a2 y2 9 直线 2xy3 与 x 轴的交点坐标为，故曲线1 也经过这个点，代 ( 3 2，0
12、) x2 a2 y2 9 入解得 a. 3 2(舍去 3 2) 答案： 3 2 三、解答题 8已知两曲线参数方程分别为Error!Error!(0)和Error!Error!(tR)，求它们的交 点坐标 解：将Error!Error!(0)化为普通方程得： y21(0y1，x)， x2 55 将 x t2，yt 代入得：t4t210， 5 4 5 16 解得 t2 ， 4 5 t(yt0)，x t2 1， 2 5 5 5 4 5 4 4 5 交点坐标为(1，) 2 5 5 9对于椭圆Error!Error!( 为参数)，如果把横坐标缩短为原来的 倍，再把纵坐 1 a 标缩短为原来的 倍即得到圆
13、心在原点，半径为 1 的圆的参数方程Error!Error!( 为参 1 b 数)那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭 圆的离心率与椭圆形状的关系 解：设圆的参数方程为Error!Error!( 为参数)， 如果将该圆看成椭圆， 那么在椭圆中对应的数值分别为 abr， 所以 c0，则离心率 e 0. a2b2 c a 即把圆看成椭圆，其离心率为 0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭 圆的离心率越小即越接近于 0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁 10椭圆1(ab0)与 x 轴正向交于点 A，若这个椭圆上总存在点 x2 a2 y2 b2 P，使 OPAP(O 为原点)，求离心率 e 的取值范围 解：设椭圆的参数方程是Error!Error!( 为参数)(ab0)，则椭圆上的点 P(acos ，bsin )，A(a,0) OPAP，1， bsin acos bsin acos a 即(a2b2)cos2a2cos b20. 解得 cos 或 cos 1(舍去) b2 a2b2 ab，1cos 1，01. b2 a2b2 把 b2a2c2代入得 01. a2c2 c2 即 011，解得e1. 1 e2 2 2 故离心率 e 的取值范围为. 2 2 ，1)
