《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 本讲知识归纳与达标验收 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4学案：第一讲 本讲知识归纳与达标验收 （13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 对应学生用书P13 考情分析 通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查 极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等预计今后的高考中，仍以考查圆、 直线的极坐标方程为主 真题体验 1(安徽高考)在极坐标系中，圆 2cos 的垂直于极轴的两条切线方程 分别为( ) A0(R)和 cos 2 B (R)和 cos 2 2 C (R)和 cos 1 2 D0(R)和 cos 1 解析：由题意可知，圆 2cos 可化为普通方程为(x1)2y21. 所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x0 和 x2，再将两条切线方 程化为极坐标方程分别为 (R)和 cos 2，故选 B. 2
2、答案：B 2(安徽高考)在极坐标系中，圆 4sin 的圆心到直线 (R)的距 6 离是_ 解析：将 4sin 化成直角坐标方程为 x2y24y，即 x2(y2)24，圆 心为(0,2)将 (R)化成直角坐标方程为 xy0，由点到直线的距离 63 公式可知圆心到直线的距离 d. |02 3| 23 答案： 3 3(江西高考)若曲线的极坐标方程为 2sin 4cos ，以极点为原点， 极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_ 解析：2sin 4cos ，22sin 4cos ， x2y22y4x，即 x2y24x2y0. 答案：x2y24x2y0. 对应学生用书P13 用解析
3、法解决几何问题 利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性， 尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的 x 轴，y 轴(坐标原点) 坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单 例 1 已知正三角形 ABC 的边长为 a，在平面上求一点 P，使 |PA|2|PB|2|PC|2最小，并求出此最小值 解 以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐 标系，如图， 则 A，B，C. (0， 3 2 a) ( a 2，0) ( a 2，0) 设 P(x，y)，则 |PA|2|PB|2|PC|2x2 22y22y23x23y2 ay (y 3 2
4、 a) (x a 2) (x a 2)3 3x23 2a2a2，当且仅当 x0，y a 时，等号成立 5a2 4 (y 3 6 a) 3 6 所求的最小值为 a2，此时 P 点的坐标为 P，即为正三角形 ABC (0， 3 6 a) 的中心. 平面直角坐标系中的伸缩变换 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：Error!Error!的作用下， 点 P(x，y)对应点 P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 例 2 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!Error!后，曲线 C 变为曲 线(x5)2(y6)21，求曲线 C 的方程，并判断其形状 解 将E
5、rror!Error!代入(x5)2(y6)21 中， 得(2x5)2(2y6)21. 化简，得(x )2(y3)2 . 5 2 1 4 该曲线是以( ，3)为圆心，半径为 的圆. 5 2 1 2 极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程 F(，)0 如果曲线 C 是由极坐标(，)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程 F(，)0 为曲线 C 的极坐标方程 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角 坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示 形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程 求轨迹方程的方法有直接法、定义法、
6、相关点代入法，在极坐标中仍然适 用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标 ， 的关系 例 3 ABC 底边 BC10，A B，以 B 为极点，BC 为极轴，建立 1 2 极坐标系，求顶点 A 的轨迹的极坐标方程 解 如图：令 A(，)， ABC 内，设B，A ， 2 又|BC|10，|AB|. 由正弦定理，得， sin3 2 10 sin 2 化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为 1020cos . 极坐标与直角坐标的互化 互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴 并在两种坐标系下取相同的单位长度 互化公式为xcos ，ysin 2x2y2，tan y xx 0 直角坐标方程
7、化极坐标方程可直接将 xcos ，ysin 代入即可，而极 坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为 cos ，sin 的整体形式， 然后用 x，y 代替较为方便，常常两端同乘以 即可达到目的，但要注意变形的 等价性 例 4 (天津高考)在以 O 为极点的极坐标系中，圆 4sin 和直线 sin a 相交于 A，B 两点若AOB 是等边三角形，则 a 的值为_ 解析 由于圆和直线的直角坐标方程分别为 x2y24y 和 ya，它们相 交于 A，B 两点，AOB 为等边三角形，所以不妨取直线 OB 的方程为 yx，联立Error!Error!消去 y，得 x2x，解得 x或 x0，所以 yx3
8、， 3333 即 a3. 答案 3 例 5 在极坐标系中，点 M 坐标是(2， )，曲线 C 的方程为 3 2sin( ); 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系， 2 4 直线 l 经过点 M 和极点 (1)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)直线 l 和曲线 C 相交于两点 A、B，求线段 AB 的长 解 (1)直线 l 过点 M(2， )和极点， 3 直线 l 的直角坐标方程是 (R) 3 2sin( )即 2(sin cos )， 2 4 两边同乘以 得 22(sin cos )， 曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y0. (2)
9、点 M 的直角坐标为(1，)，直线 l 过点 M 和原点， 3 直线 l 的直角坐标方程为 yx. 3 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r，圆心到直线 l 的距离为 2 d，|AB|1. 31 23 对应学生用书P35 (时间：90 分钟，总分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1点 M 的极坐标为(1，)，则它的直角坐标是( ) A(1,0) B(1,0) C(0,1) D(0，1) 解析：x1cos 1，y1sin 0， 即直角坐标是(1,0) 答案：B 2已知曲线 C 的极坐标方程
10、 2cos 2，给定两点 P(0， )，Q(2，)，则 2 有( ) AP 在曲线 C 上，Q 不在曲线 C 上 BP、Q 都不在曲线 C 上 CP 不在曲线 C 上，Q 在曲线 C 上 DP、Q 都在曲线 C 上 解析：当 时，2cos 20，故点 P 不在曲线上；当 时， 2 2cos 22，故点 Q 在曲线上 答案：C 3点 P 的柱坐标为，则其直角坐标为( ) (16， 3，5) A. B. (5，8，8 3)(8，8 3，5) C. D. (8 3，8，5)(4，8 3，5) 解析：16， ，z5， 3 xcos 8，ysin 8，z5， 3 点 P 的直角坐标是(8,8，5) 3
11、答案：B 4在同一坐标系中，将曲线 y2sin 3x 变为曲线 ysin x 的伸缩变换是( ) A.Error!Error! B.Error!Error! C.Error!Error! D.Error!Error! 解析：将Error!Error!代入 ysin x，得 ysin x， 即 y sin x，与 y2sin 3x 比较，得 ，3， 1 1 2 即变换公式为Error!Error! 答案：B 5曲线 5 与 的交点的极坐标写法可以有( ) 4 A1 个 B2 个 C4 个 D无数个 解析：由极坐标的定义易知有无数个 答案：D 6在极坐标系中，过点 A(6，)作圆 4cos 的切线
12、，则切线长为( ) A2 B6 C2 D2 315 解析：圆 4cos 化为(x2)2y24，点(6，)化为(6,0)，所以切线 长2. 4222123 答案：C 7极坐标方程 cos 与 cos 的图形是( ) 1 2 解析：把 cos 化为直角坐标方程，得 x ， 1 2 1 2 把 cos 代为直角坐标方程，得 x2y2x0，即其圆心为，半径 ( 1 2，0) 为 ，故选项 B 正确 1 2 答案：B 8极坐标方程 ， (0)和 4 所表示的曲线围成的图形面积是 3 2 3 ( ) A. B. 16 3 8 3 C. D. 4 3 2 3 解析：三条曲线围成一个扇形， 半径为 4，圆心角
13、为 . 2 3 3 3 扇形面积为： 4 4. 1 2 3 8 3 答案：B 9在极坐标系中，曲线 4sin( )关于( ) 3 A线 轴对称 B线 轴对称 3 5 6 C(2， )中心对称 D极点中心对称 3 解析：4sin( )可化为 4cos()，可知此曲线是以(2，)为圆 3 5 6 5 6 心的圆，故圆关于 对称 5 6 答案：B 10在极坐标系中有如下三个结论：点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标 满足曲线 C 的极坐标方程；tan 1 与 表示同一条曲线；3 与 4 3 表示同一条曲线在这三个结论中正确的是( ) A B C D 解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定
14、适合它的方程，但在极 坐标系内，曲线上所有点的坐标不一定适合方程，故是错误的；tan 1 不 仅表示 这条射线，还表示 这条射线，故亦不对；3 与 3 4 5 4 差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为 3 的圆，故正确 答案：D 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填写在 题中的横线上) 11(天津高考)已知圆的极坐标方程为 4cos ，圆心为 C，点 P 的极坐 标为，则|CP|_. (4， 3) 解析：由圆的极坐标方程为 4cos ，得圆心 C 的直角坐标为(2,0)，点 P 的直角坐标为(2,2)，所以|CP|2. 33 答案：2 3 12点 A 的直角坐标为，则它的球坐标为_ ( 3 3 2 ，9 2，3) 解析：r6. ( 3 3 2 )2( 9 2)232 cos ， . 3 6 1 2 3 tan ，
