《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第二讲 一 圆周角定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1学案创新应用：第二讲 一 圆周角定理 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一圆周角定理 对应学生用书 P18 1圆周角定理 文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 图形语言 符号语言 在O 中，所对的圆周角和圆心角分别是BAC，BOC，则有BAC A A BC BOC 1 2 作用确定圆中两个角的大小关系 2圆心角定理 文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数 图形语言 符号语言 A，B 是O 上两点，则弧的度数等于AOB 的度数 A A AB 作用确定圆弧或圆心角的度数 3圆周角定理的推论 (1)推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等 (2)推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直
2、径 说明 (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧” ； (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中” 对应学生用书 P18 与圆周角定理相关的证明 例 1 如图，已知：ABC 内接于O，D、E 在 BC 边上，且 BDCE，12，求证：ABAC. 思路点拨 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由 圆周角定理及其推论证明 证明 如图，延长 AD、AE 分别交O 于 F、G，连接 BF、CG， 12， ， A A BF A A CG BFCG， A A BG A A CF FBDGCE. 又BDCE， BFDCGE，FG， ，ABA
3、C. A A AB A A AC (1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化 为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆 中线段相等的常见策略 (2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问 题 1.如图，OA 是O 的半径，以 OA 为直径的C 与O 的弦 AB 相 交于点 D. 求证：D 是 AB 的中点 证明：连接 OD、BE. 因为ADOABE90， 所以 OD 和 BE 平行 又因为 O 是 AE 的中点， 所以 D 是 AB 的中点 2已知 AD 是ABC 的高，AE 是ABC 的
4、外接圆的直径 求证：BAEDAC. 证明：连接 BE， 因为 AE 为直径， 所以ABE90. 因为 AD 是ABC 的高， 所以ADC90. 所以ADCABE. 因为EC， 所以BAE90E， DAC90C. 所以BAEDAC. 3已知O 中，ABAC，D 是 BC 延长线上一点，AD 交O 于 E. 求证：AB2ADAE. 证明：如图， ABAC，. A A AB A A AC ABDAEB. 在ABE 与ADB 中， BAEDAB， AEBABD， ABEADB. ，即 AB2ADAE. AB AD AE AB 利用圆周角进行计算 例 2 如图，已知 BC 为半O 的直径，ADBC，垂足
5、为 D，BF 交 AD 于 E，且 AEBE. (1)求证：； A A AB A A AF (2)如果 sin FBC ，AB4，求 AD 的长 3 55 思路点拨 BC 为半O 的直径，连接 AC，构造 RtABC. 解 (1)证明：如图， 连接 AC. BC 是半O 的直径， BAC90， 又 ADBC，垂足为 D， 13. 在AEB 中，AEBE， 12. 23，即 A A . BF (2)设 DE3x， ADBC，sinFBC ， 3 5 BE5x，BD4x. AEBE， AE5x，AD8x. 在 RtADB 中，ADB90，AB4， 5 (8x)2(4x)2(4)2， 5 解得 x1
6、， AD8. 与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角 的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算 4如图，ABC 内接于O，ODBC 于 D，A50，则OCD 的度数是( ) A40 B25 C50 D60 解析：连接 OB.因为A50，所以弦 BC 所对的圆心角 BOC100，COD BOC50，OCD90COD40. 1 2 答案：A 5.如图，ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明：ABEADC； (2)若ABC 的面积 S ADAE， 1 2 求BAC 的大小 解：(1)证明：由已知条件可得BA
7、ECAD. 因为AEB 与ACB 是同弧上的圆周角， 所以AEBACD. 故ABEADC. (2)因为ABEADC， 所以，即 ABACADAE. AB AE AD AC 又 S ABACsin BAC，且 S ADAE， 1 2 1 2 所以 ABACsin BACADAE. 则 sin BAC1. 又BAC 为三角形内角， 所以BAC90. 对应学生用书 P20 一、选择题 1如图，在O 中，BOC50，则A 的大小为( ) A25 B50 C75 D100 解析：由圆周角定理得A BOC25. 1 2 答案：A 2.如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于 E，则图中相似三角形 有( )
8、A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 解析：由推论 1 知： ADBACB，ABDACD， BACBDC，CADCBD， AEBDEC，AEDBEC. 答案：B 3RtABC 中，C90，A30，AC2，则此三角形外接圆半径为( ) 3 A. B2 3 C2 D4 3 解析：由推论 2 知 AB 为 RtABC 的外接圆的直径，又 AB4，故外接圆半 2 3 cos 30 径 r AB2. 1 2 答案：B 4.如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 AD，BC 相交于 P，若 CD3，AB4，则 tan BPD 等于( ) A. B. 3 4 4 3 C. D. 5 3 7 3 解析：连
9、接 BD，则BDP90. CPDAPB， . CD AB PD PB 3 4 在 RtBPD 中，cos BPD ， PD PB 3 4 tan BPD. 7 3 答案：D 二、填空题 5在O 中，已知ACBCDB60，AC3，则ABC 的周长 是_ 解析：由圆周角定理， 得ADACB60. ABBC. ABC 为等边三角形 周长等于 9. 答案：9 6如图，AB 为半圆 O 的直径，OCAB，OD 平分BOC，交半圆于点 D，AD 交 OC 于点 E，则AEO 的度数是_ 解析：因为 OD 平分BOC， 且BOC90， 所以BOD BOC45， 1 2 所以OAD BOD22.5. 1 2
10、在 RtAEO 中，AOE90， 则AEO90OAE67.5. 答案：67.5 7如图所示，已知O 为ABC 的外接圆，ABAC6，弦 AE 交 BC 于 D，若 AD4，则 AE_. 解析：连接 CE，则AECABC， 又ABC 中，ABAC， ABCACB， AECACB， ADCACE， ， AD AC AC AE AE9. AC2 AD 答案：9 三、解答题 8.(2012江苏高考)如图，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，连结 BD 并延长至点 C，使 BDDC，连结 AC，AE，DE. 求证：EC. 解：连结 OD，因为 BDDC，O 为 AB 的中
11、点， 所以 ODAC，于是ODBC. 因为 OBOD，所以ODBB.于是BC. 因为点 A，E，B，D 都在圆 O 上，且 D，E 为圆 O 上位于 AB 异 侧的两点，所以E 和B 为同弧所对的圆周角，故EB.所以 EC. 9如图，已知ABC 内接于圆，D 为中点，连接 AD 交 BC 于 E. A A BC 求证：(1)； AE EC BE ED (2)ABACAE2EBEC. 证明：(1)连接 CD. 13，45， ABECDE. AE EC BE ED (2)连接 BD. ， AE EC BE DE AEDEBEEC. AE2BEECAE2AEDE AE(AEDE)AEAD. 在ABD
12、 与AEC 中，D 为的中点， A A BC 12. 又ACEACBADB， ABDAEC.， AB AE AD AC 即 ABACADAE 由知：ABACAE2EBEC. 10如图，已知 A，B，C，D，E 均在O 上，且 AC 为O 的直 径 (1)求ABCDE 的值； (2)若O 的半径为，AD 与 EC 交于点 M，且 E，D 为弧 AC 的 3 2 三等分点，求 MD 的长 解：(1)连接 OB，OD，OE，则ABCDE (CODDOEEOAAOBBOC) 1 2 360180. 1 2 (2)连接 OM 和 CD，因为 AC 为O 的直径， 所以ADC90，又 E，D 为的三等分点， A A AC 所以AECA EOA 18030， 1 2 1 2 1 3 所以 OMAC.因为O 的半径为，即 OA， 3 2 3 2 所以 AM1. OA cosA OA cos 30 在 RtADC 中，ADACcosA2 . 3 2 3 2 3 2 则 MDADAM . 1 2
