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1、一圆周角定理 对应学生用书 P18 1圆周角定理 文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 图形语言 符号语言 在O 中,所对的圆周角和圆心角分别是BAC,BOC,则有BAC A A BC BOC 1 2 作用确定圆中两个角的大小关系 2圆心角定理 文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数 图形语言 符号语言 A,B 是O 上两点,则弧的度数等于AOB 的度数 A A AB 作用确定圆弧或圆心角的度数 3圆周角定理的推论 (1)推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 相等 (2)推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直
2、径 说明 (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆心角等于它所对的弧” ; (2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中” 对应学生用书 P18 与圆周角定理相关的证明 例 1 如图,已知:ABC 内接于O,D、E 在 BC 边上,且 BDCE,12,求证:ABAC. 思路点拨 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件,再由 圆周角定理及其推论证明 证明 如图,延长 AD、AE 分别交O 于 F、G,连接 BF、CG, 12, , A A BF A A CG BFCG, A A BG A A CF FBDGCE. 又BDCE, BFDCGE,FG, ,ABA
3、C. A A AB A A AC (1)有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲证圆周角相等,可转化 为证明它们所对的弧相等;要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等,这是证明圆 中线段相等的常见策略 (2)若已知条件中出现直径,则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问 题 1.如图,OA 是O 的半径,以 OA 为直径的C 与O 的弦 AB 相 交于点 D. 求证:D 是 AB 的中点 证明:连接 OD、BE. 因为ADOABE90, 所以 OD 和 BE 平行 又因为 O 是 AE 的中点, 所以 D 是 AB 的中点 2已知 AD 是ABC 的高,AE 是ABC 的
4、外接圆的直径 求证:BAEDAC. 证明:连接 BE, 因为 AE 为直径, 所以ABE90. 因为 AD 是ABC 的高, 所以ADC90. 所以ADCABE. 因为EC, 所以BAE90E, DAC90C. 所以BAEDAC. 3已知O 中,ABAC,D 是 BC 延长线上一点,AD 交O 于 E. 求证:AB2ADAE. 证明:如图, ABAC,. A A AB A A AC ABDAEB. 在ABE 与ADB 中, BAEDAB, AEBABD, ABEADB. ,即 AB2ADAE. AB AD AE AB 利用圆周角进行计算 例 2 如图,已知 BC 为半O 的直径,ADBC,垂足
5、为 D,BF 交 AD 于 E,且 AEBE. (1)求证:; A A AB A A AF (2)如果 sin FBC ,AB4,求 AD 的长 3 55 思路点拨 BC 为半O 的直径,连接 AC,构造 RtABC. 解 (1)证明:如图, 连接 AC. BC 是半O 的直径, BAC90, 又 ADBC,垂足为 D, 13. 在AEB 中,AEBE, 12. 23,即 A A . BF (2)设 DE3x, ADBC,sinFBC , 3 5 BE5x,BD4x. AEBE, AE5x,AD8x. 在 RtADB 中,ADB90,AB4, 5 (8x)2(4x)2(4)2, 5 解得 x1
6、, AD8. 与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算,不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角 的度数来求相关的角、线段,有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算 4如图,ABC 内接于O,ODBC 于 D,A50,则OCD 的度数是( ) A40 B25 C50 D60 解析:连接 OB.因为A50,所以弦 BC 所对的圆心角 BOC100,COD BOC50,OCD90COD40. 1 2 答案:A 5.如图,ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:ABEADC; (2)若ABC 的面积 S ADAE, 1 2 求BAC 的大小 解:(1)证明:由已知条件可得BA
7、ECAD. 因为AEB 与ACB 是同弧上的圆周角, 所以AEBACD. 故ABEADC. (2)因为ABEADC, 所以,即 ABACADAE. AB AE AD AC 又 S ABACsin BAC,且 S ADAE, 1 2 1 2 所以 ABACsin BACADAE. 则 sin BAC1. 又BAC 为三角形内角, 所以BAC90. 对应学生用书 P20 一、选择题 1如图,在O 中,BOC50,则A 的大小为( ) A25 B50 C75 D100 解析:由圆周角定理得A BOC25. 1 2 答案:A 2.如图所示,若圆内接四边形的对角线相交于 E,则图中相似三角形 有( )
8、A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 解析:由推论 1 知: ADBACB,ABDACD, BACBDC,CADCBD, AEBDEC,AEDBEC. 答案:B 3RtABC 中,C90,A30,AC2,则此三角形外接圆半径为( ) 3 A. B2 3 C2 D4 3 解析:由推论 2 知 AB 为 RtABC 的外接圆的直径,又 AB4,故外接圆半 2 3 cos 30 径 r AB2. 1 2 答案:B 4.如图,已知 AB 是半圆 O 的直径,弦 AD,BC 相交于 P,若 CD3,AB4,则 tan BPD 等于( ) A. B. 3 4 4 3 C. D. 5 3 7 3 解析:连
9、接 BD,则BDP90. CPDAPB, . CD AB PD PB 3 4 在 RtBPD 中,cos BPD , PD PB 3 4 tan BPD. 7 3 答案:D 二、填空题 5在O 中,已知ACBCDB60,AC3,则ABC 的周长 是_ 解析:由圆周角定理, 得ADACB60. ABBC. ABC 为等边三角形 周长等于 9. 答案:9 6如图,AB 为半圆 O 的直径,OCAB,OD 平分BOC,交半圆于点 D,AD 交 OC 于点 E,则AEO 的度数是_ 解析:因为 OD 平分BOC, 且BOC90, 所以BOD BOC45, 1 2 所以OAD BOD22.5. 1 2
10、在 RtAEO 中,AOE90, 则AEO90OAE67.5. 答案:67.5 7如图所示,已知O 为ABC 的外接圆,ABAC6,弦 AE 交 BC 于 D,若 AD4,则 AE_. 解析:连接 CE,则AECABC, 又ABC 中,ABAC, ABCACB, AECACB, ADCACE, , AD AC AC AE AE9. AC2 AD 答案:9 三、解答题 8.(2012江苏高考)如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C,使 BDDC,连结 AC,AE,DE. 求证:EC. 解:连结 OD,因为 BDDC,O 为 AB 的中
11、点, 所以 ODAC,于是ODBC. 因为 OBOD,所以ODBB.于是BC. 因为点 A,E,B,D 都在圆 O 上,且 D,E 为圆 O 上位于 AB 异 侧的两点,所以E 和B 为同弧所对的圆周角,故EB.所以 EC. 9如图,已知ABC 内接于圆,D 为中点,连接 AD 交 BC 于 E. A A BC 求证:(1); AE EC BE ED (2)ABACAE2EBEC. 证明:(1)连接 CD. 13,45, ABECDE. AE EC BE ED (2)连接 BD. , AE EC BE DE AEDEBEEC. AE2BEECAE2AEDE AE(AEDE)AEAD. 在ABD
12、 与AEC 中,D 为的中点, A A BC 12. 又ACEACBADB, ABDAEC., AB AE AD AC 即 ABACADAE 由知:ABACAE2EBEC. 10如图,已知 A,B,C,D,E 均在O 上,且 AC 为O 的直 径 (1)求ABCDE 的值; (2)若O 的半径为,AD 与 EC 交于点 M,且 E,D 为弧 AC 的 3 2 三等分点,求 MD 的长 解:(1)连接 OB,OD,OE,则ABCDE (CODDOEEOAAOBBOC) 1 2 360180. 1 2 (2)连接 OM 和 CD,因为 AC 为O 的直径, 所以ADC90,又 E,D 为的三等分点, A A AC 所以AECA EOA 18030, 1 2 1 2 1 3 所以 OMAC.因为O 的半径为,即 OA, 3 2 3 2 所以 AM1. OA cosA OA cos 30 在 RtADC 中,ADACcosA2 . 3 2 3 2 3 2 则 MDADAM . 1 2