《2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第二单元 疑难规律方法 第二章 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第二单元 疑难规律方法 第二章 （17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 椭圆的定义在解题中的妙用 椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质有些问题，如果恰当运用定 义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明 1求最值 例 1 线段|AB|4，|PA|PB|6，M 是 AB 的中点，当 P 点在同一平面内运动时，PM 的长 度的最小值是( ) A2 B. C. D5 25 解析 由于|PA|PB|64|AB|，故由椭圆定义知 P 点的轨迹是以 M 为原点，A、B 为焦点 的椭圆，且 a3，c2，b.于是 PM 的长度的最小值是 b. a2c255 答案 C 2求动点坐标 例 2 椭圆1 上到两个焦点 F1，F2距离之积最大的点的坐标
2、是_ x2 9 y2 25 解析 设椭圆上的动点为 P，由椭圆的定义可知 |PF1|PF2|2a10， 所以|PF1|PF2| 2225， ( |PF1|PF2| 2 )( 10 2) 当且仅当|PF1|PF2|时取等号 由Error!Error!解得|PF1|PF2|5a， 此时点 P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(3,0) 答案 (3,0) 点评 由椭圆的定义可得“|PF1|PF2|10” ，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合均值 不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点 P 的坐标 3求焦点三角形面积 例 3 如图所示，已知椭圆的方程为1
3、，若点 P 在第二象限，且PF1F2120，求 x2 4 y2 3 PF1F2的面积 解 由已知得 a2，b， 3 所以 c1，|F1F2|2c2. a2b2 在PF1F2中，由余弦定理得 |PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120， 即|PF2|2|PF1|242|PF1|， 由椭圆定义，得|PF1|PF2|4， 即|PF2|4|PF1|. 将代入，得|PF1| . 6 5 所以 SPF1F2 |PF1|F1F2|sin 120 1 2 2，即PF1F2的面积是. 1 2 6 5 3 2 3 5 3 3 5 3 点评 在PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得
4、关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可 求|PF1|. 从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭 圆的定义求解 2 如何求椭圆的离心率 1由椭圆的定义求离心率 例 1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于 4 个不同的点，顺次连接这四个点和 两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为_ 解析 如图所示，设椭圆的方程为1 (ab0)，半焦距为 c，由题 x2 a2 y2 b2 意知F1AF290，AF2F160. |AF2|c， |AF1|2csin 60c. 3 |AF1|AF2| 2a(1)c. 3 e 1. c a 2
5、313 答案 1 3 点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解 决 2解方程(组)求离心率 例 2 椭圆1 (ab0)的左焦点为 F1(c,0)，A(a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果 x2 a2 y2 b2 F1到直线 AB 的距离为，则椭圆的离心率 e_. b 7 解析 如图所示，直线 AB 的方程为 1， x a y b 即 bxayab0. 点 F1(c,0)到直线 AB 的距离为， b 7 b 7 |bcab| a2b2 |ac|， 7a2b2 即 7a214ac7c2a2b2. 又b2a2c2，整理，得 5a214ac8c20. 两边同除
6、以 a2并由 e 知，8e214e50， c a 解得 e 或 e (舍去) 1 2 5 4 答案 1 2 3利用数形结合求离心率 例 3 在平面直角坐标系中，椭圆1(ab0)的焦距为 2，圆 O 的半径为 a，过点 P x2 a2 y2 b2 作圆 O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率 e_. ( a2 c ，0) 解析 如图所示，切线 PA、PB 互相垂直，PAPB. 又 OAPA，OBPB，OAOB， 则四边形 OAPB 是正方形， 故 OPOA， 2 即a，e . a2 c2 c a 2 2 答案 2 2 4综合类 例 4 设 M 为椭圆1 上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦
7、点，如果MF1F275， x2 a2 y2 b2 MF2F115，求椭圆的离心率 解 由正弦定理得 2c sin 90 |MF1| sin 15 |MF2| sin 75 ， |MF1|MF2| sin 15sin 75 2a sin 15sin 75 e . c a 1 sin 15cos 15 1 2sin 60 6 3 点评 此题可推广为若MF1F2，MF2F1，则椭圆的离心率 e. cos 2 cos 2 3 活用双曲线定义妙解题 在解双曲线中的有关求离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为 小题，起到事半功倍的作用下面举例说明 1求焦点三角形的周长 例 1 过双曲
8、线1 左焦点 F1的直线与左支交于 A、B 两点，且弦 AB 长为 6，则 x2 16 y2 9 ABF2(F2为右焦点)的周长是_ 解析 由双曲线的定义知|AF2|AF1|8， |BF2|BF1|8， 两式相加得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|) |AF2|BF2|AB|16， 从而有|AF2|BF2|16622， 所以ABF2的周长为 |AF2|BF2|AB|22628. 答案 28 点评 与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技 巧 2最值问题 例 2 已知 F 是双曲线y21 的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点 M(4,2)，求 x2 3
9、|PM|PF|的最小值 解 设双曲线的左焦点为 F， 则 F(2,0)， 由双曲线的定义知：|PF|PF|2a2，所以|PF|PF|2， 33 所以|PM|PF|PM|PF|2，要使|PM|PF|取得最小值，只需|PM|PF|取得最小 3 值，由图可知，当 P、F、M 三点共线时，|PM|PF|最小，此时|MF|2， 10 故|PM|PF|的最小值为 22. 103 点评 本题利用双曲线的定义对 F 的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值另外同 学们不妨思考一下：若将 M 坐标改为 M(1,1)，其他条件不变，如何求解呢？若 P 是双曲 线左支上一动点，如何求解呢？ 3求离心率范围 例 3
10、 已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在双曲线的右支上， x2 a2 y2 b2 且|PF1|4|PF2|，试求双曲线离心率的取值范围 解 因为|PF1|4|PF2|，点 P 在双曲线的右支上， 所以设|PF2|m，则|PF1|4m， 由双曲线的定义，得|PF1|PF2|4mm2a， 所以 m a. 2 3 又|PF1|PF2|F1F2|， 即 4mm2c， 所以 m c， 2 5 即 a c，所以 e . 2 3 2 5 c a 5 3 又 e1，所以双曲线离心率的取值范围为 1b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 N(x0，y0)， x2
11、 a2 y2 b2 Error!Error! 得0， x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 即， y1y2 x1x2 b2x1x2 a2y1y2 b2x0 a2y0 又kAB1，y0x0. y1y2 x1x2 b2 a2 直线 ON 的方向向量为， ON (1， b2 a2) a， . ON 1 3 b2 a2 a23b2，椭圆方程为 x23y23b2， 又直线方程为 yxc. 联立Error!Error!得 4x26cx3c23b20. x1x2 c，x1x2 c2. 3 2 3c23b2 4 3 8 又设 M(x，y)，则由， OM OA OB 得Error!Error!代入椭圆
12、方程整理得 2(x 3y )2(x 3y )2(x1x23y1y2)3b2. 2 12 12 22 2 又x 3y 3b2，x 3y 3b2， 2 12 12 22 2 x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2 c2 c23c20， 3 2 9 2 221，故 22为定值 例 2 已知抛物线 y22px (p0)上有两个动点 A、B 及一个定点 M(x0，y0)，F 是抛物线的焦 点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列 求证：线段 AB 的垂直平分线经过定点(x0p,0) 证明 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义，知 |AF|x1 ，|BF|x2 ，|MF|x
13、0 . p 2 p 2 p 2 因为|AF|、|MF|、|BF|成等差数列， 所以 2|MF|AF|BF|，即 x0. x1x2 2 设 AB 的中点为(x0，t)，t. y1y2 2 则 kAB . y1y2 x1x2 y1y2 y2 1 2p y2 2 2p 2p y1y2 p t 所以线段 AB 的垂直平分线方程为 yt (xx0)， t p 即 tx(x0p)py0. 所以线段 AB 的垂直平分线过定点(x0p,0) 2最值问题 解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平 面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问
14、题(即 根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角 有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值 例 3 已知 F 是双曲线1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|PA| x2 4 y2 12 的最小值为_ 解析 设右焦点为 F，由题意可知 F坐标为(4,0)，根据双曲线的定义， |PF|PF|4，|PF|PA|4|PF|PA|，要使|PF|PA|最小，只需|PF|PA|最 小即可，|PF|PA|最小需 P、F、A 三点共线，最小值即 4|FA|4459. 916 答案 9 点评 “化曲为直”法求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥 曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法 例 4 已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，设 l1与轨迹 C 相交于点 A，B，l2与轨迹 C 相交于点 D，E，求的最小值 AD EB 解 (1)设动点 P 的坐标为(x，y)，由题意有|x|1.化简得 y
