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1、离 散 数 学,习题讲解,例题,令 X x1 , x2 , , xm ，Y= y1 , y2 , , yn ，问 (1) 有多少不同的由 X 到 Y 的关系？ (2) 有多少不同的 X 到 Y 的映射？ (3) 有多少不同的由 X 到 Y 的单射、双射？,解：(1) 有 2mn 不同的由 X 到 Y 的关系。 (2) 有 nm 不同的 X 到 Y 的映射。 (3) X 到 Y 的单射个数为：, 若 mn，有 0 个单射。 若 mn，有 m! 个单射。 只有 mn 时，才存在 X 到 Y 的双射，个数为 m! 。, 若 mn，有 个单射。,例题,设 A, B, C, D 是任意集合，f 是 A
2、到 B 的双射，g 是 C 到 D 的双射。令 h : ACBD，且 AC，h()=，那么 h 是双射吗？请证明你的判断。 证明(1) 先证明 h 是满射。 BD，则 bB，dD， 因为 f 是 A 到 B 的双射，g 是 C 到 D 的双射, 所以，aA，cC，使得 f(a)=b, g(c)=d， 也就是 AC，使得 h()= =, 所以，h 是满射。,例题,(2) 再证 h 是单射。 , AC，若 h()= h( )，则 = 所以， f(a1) = f(a2)， g(c1) = g(c2)。 因为 f 是 A 到 B 的双射，g 是 C 到 D 的双射, 所以， a1 = a2，c1 = c2。 所以， = ， 所以， h 是单射。 综上所述， h 是双射。,例题,(1)设 f : AB，g :BA，且 f g =IA， 证明 f 是单射，g 是满射。 (2)设 f : AB，A1A，B1B， 证明 f (A1f -1(B1) = f(A1)B1。,
