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1、第三节 微 分,一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似法则中的应用,例1 设有一个边长为 的正方形金属片，受热后它的边长伸长了 ，问其面积增加了多少？,一、微分的概念,受热后，当边长由 伸长到 时，面积 相应的增量为,从上式可以看出, 可分成两部分:,这表明，当 很小时，(2)的绝对值要比(1)的绝对值小得多，可以忽略不计，即可用（2)作为 的近似值：,定义1 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数 在点 处的增量 可以表示为 ，其中 是与 无关的常数， 是当 时比 高阶的无穷小，则称函数 在点 处可微， 称为 在点 处的微分，记作,或,于是,由此引进函数微分
2、的概念：,导数一种比值的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于零时的极限.,微分函数增量的近似值，即自变量取得微小增量时函数值增量的近似值.,那么，导数与微分之间存在什么样的联系呢？,于是,可微函数：如果函数 在区间 内每一点都可微，则称该函数在 内可微，或称函数 是在 内的可微函数此时，,函数 在 内任意一点 处的微分记 为 ，即,由此有，,因此，通常把函数的导数与微分的运算统称为微分法在高等数学中，把研究导数和微分的有关内容称为微分学,因此，微分与导数紧密相关，求出了导数立即可得微分，求出了微分亦可得导数，,例2 求函数 当 ， 时的微分,解 函数在任意点的微分,于是,例3 半径
3、为 的圆的面积为 当半径增大 时，求圆面积的增量与微分,面积的微分为,当自变量 有增量 时，切线 的纵坐标相应地有增量,二、微分的几何意义,过曲线 上一 点 作切线 ，设 的 倾角为 ，则,当 有增量 时，曲线 在对应点 处的切线的纵坐标的增量 ,因此，微分 几何上表示:,用 近似代替 ,就是用曲线 在点 处的切线纵坐标的增量近似代替曲线 的纵坐标的增量.,三、微分的运算法则,1基本初等函数的微分公式,2函数的和、差、积、商的微分运算法则,设函数 ， 均可微，则,（ 为常数）,3复合函数的微分法则,而,于是,设函数 都是可导函数，则复合函数 的微分为,解,导数为,微分为,四、微分在近似计算中的应用,这些公式都可用来求函数 的近似值.,若,应用 可以推得一些常用的近似公式,当 很小时,有,另外，,于是，得,即,则,
