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1、11.4.1 数学期望(平均数),11.4.5 矩,11.4.4 常用分布的期望与方差,11.4.3 期望和方差的性质,11.4.2 方差,11.4 期望与方差,1.离散型随机变量的数学期望,定义11.4 设离散型随机变量 的概 率分布为,则称 为随机变量 的数学期望，简称期望或均值记作 ,11.4.1 数学期望(平均数),返回,1/24,上一页,上一页,对于离散型随机变量 的函数 的数学期望有如下公式：,如果 的数学期望存在，则,返回,2/24,11.4.1 数学期望(平均数),例1 设 的概率分布为,求： ； ； ,返回,3/24,11.4.1 数学期望(平均数),；,返回,4/24,11
2、.4.1 数学期望(平均数),2.连续型随机变量的数学期望,定义11.5 设连续型随机变量 的概率密度是 ,若积分 收敛,则称积分 为随机变量 的数学期望，记作 ，即 ,返回,5/24,11.4.1 数学期望(平均数),对于连续型随机变量 的函数 的数学期望有如下公式：,如果 的数学期望存在，则,，,其中 是 的分布密度函数,返回,6/24,11.4.1 数学期望(平均数),例2 设随机变量 服从均匀分布,求 和 的数学期望 ( ， 为 常数),返回,7/24,11.4.1 数学期望(平均数),返回,8/24,11.4.1 数学期望(平均数),定义11.6 设 是一个随机变量，若 存在,则称
3、为 的方差,记为 ,即 ,标准差 ： ,11.4.2 方差,返回,9/24,；,若连续型随机变量 的概率密度是 ，则 的方差为,返回,10/24,若离散型随机变量 的分布列为 ，则 的方差为,11.4.2 方差,由于分布密度 有性质 ,于是,故有,.,返回,11/24,11.4.2 方差,求 ,解,返回,12/24,11.4.2 方差,例5 设 ,求 的期望与方差,解 因为 ，于是,由于被积函数为奇函数，故积分为零即 ,返回,13/24,11.4.2 方差,于是 ,返回,14/24,11.4.2 方差,性质1 ， ( 为任意常数),随机变量 的期望和方差具有下列性质：,性质2 设 为常数,则
4、， ,11.4.3 期望和方差的性质,返回,15/24,性质3 对于任意两个随机变量 ， ,有,11.4.3 期望和方差的性质,返回,16/24,推广到多个随机变量的情形：设随机变量 ， ， ，则有,如果随机变量 ， ,， 相互独立,则有,11.4.3 期望和方差的性质,返回,17/24,性质4 ， ,11.4.3 期望和方差的性质,返回,18/24,例6 已知 ，求 和 ,11.4.3 期望和方差的性质,由此可知，正态分布 中的两个参数 ， 即为正态分布的期望和标准差,由例5知 ， ,再由性质4知,；,返回,19/24,2.二项分布 若 ,其分布列为 ， ，1，2， ， ，则,11.4.4 常用分布的期望与方差,返回,20/24,1.两点分布 若 的分布列是 ， ，则,3.泊松分布 若 ，其分布列为 ，则,4.均匀分布 若 ，则,11.4.4 常用分布的期望与方差,返回,21/24,5.正态分布 若 ，则 ， ；,若 ,则 ， ,11.4.4 常用分布的期望与方差,返回,22/24,随机变量 的数学期望 是 的一阶原点矩，方差 是 的二阶中心矩,定义11.7 设 是随机变量，若 的期望 存在，则称它为随机变量 的 阶原点矩 .若 的期望 存在，则称它为 的 阶中心矩 ,11.4.5 矩,返回,23/24,11.4.5 矩,返回,24/24,下一页,下一页,
