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1、1,计算方法 3 数值积分,航空科学与工程学院,2,回顾,2个基本概念,数值求积公式+代数精度；,插值型求积公式(本章重点),复合求积 区间逐次分半 龙贝格求积公式,3,3.4 龙贝格求积公式,近似函数的精度 插值中的残差修正方法(事后估计法),数值积分,4,误差,定理： 设n为偶数，且f(x)在a，b上有n+2阶连续导数，则Newton-Cotes型求积公式的离散误差： 设n为奇数，且f(x)在a，b上有n+1阶连续导数，则Newton-Cotes型求积公式的离散误差：,数值积分,5,特例： n=1时，梯形公式的离散误差为 n=2时，Simpson公式的离散误差为 n=4时，Cotes公式的
2、离散误差为,数值积分,6,复合梯形公式 xi，xi+1上,数值积分,从而：,7,复合Simpson公式,数值积分,8,区间逐次分半的误差量纲分析 复合梯形公式的误差h2 Simpson算法,数值积分,9,Simpson公式的误差h4 Cotes算法,数值积分,10,Cotes公式的误差分析h6 Romberg公式，不属于Newton-Cotes公式范畴。,数值积分,11,Romberg算法 系数？,数值积分,12,已有求积公式特点总结 节点给定；,精度有限(插值型求积公式代数精度定理)。,等距节点；,13,3.5 由代数精度构造求积公式,两种情况 节点给定； 节点不给定(构造节点) 。,14,
3、3.5.1 节点给定的情况,对求积公式 节点xi(i=0，1，n)给定，可由代数精度确定求积系数Ai(i=0，1，n)。 分析：n+1个系数，应具有？次代数精度？,15,令f(x)=xi(i=0，1，n)，则有 唯一性定理。,16,3.5.2 Gauss求积公式,问题 数值求积的Gauss公式,17,问题,等分点：简单，精度受限制； 节点给定：精度受限制；,数值求积公式的构造 给定求积节点xi(i=0,1,n)，构造具有n次代数精度的数值求积公式。 精度不能再提高矛盾方程组。,18,提高精度：构造不等分点 高精度的求积公式； 以本章的插值型数值求积公式为基础，针对f(x)已知的情况，以代数精度
4、为目标。,19,Gauss求积公式,插值型数值求积公式 求积节点xi(i=0，1，n)( ax0 x1 xn b)。 适当的选取求积节点xi和求积系数Ai，可以使得该插值公式具有2n+1次代数精度高斯求积公式； 求积节点xi(i=0，1，n)( ax0 x1 xn b)高斯求积点(高斯点)。,20,n=1： 至少具有？次代数精度(插值型求积公式的代数精度)。 如果具有2n+1次代数精度，等价于对f(x)= ？, 成立,21,n=2: 具有3次代数精度。 等价于对f(x)= ? , 成立。,22,23,Gauss点的特征,24,求积公式精度提高到2n+1次.要求f(x)为2n+1次多项式时 含义
5、？,25,Gauss点的特征,设xi(i=0，1，n)是求积公式的高斯点，做多项式 对于任意次数n次的多项式p(x)， p(x) w(x)是次数2n+1次的多项式，则满足下式 以高斯点为零点的n次多项式w(x)与n次的多项式p(x)正交。,26,定理5：求积点为高斯点的充要条件：w(x)与n次的多项式p(x)正交。 证明：充分性： 任意2n+1次的f(x)=p(x)w(x)+q(x) p(x)、q(x)为n次的多项式。 从而 按插值型求积公式的特点,必要性：,27,28,确定n=0、1的高斯点,Gauss-legendre求积公式,29,Gauss-legendre求积公式,30,Legend
6、re多项式 以Gauss点xi(i=0，1，n)为零点的n+1次式 Legendre多项式形式,31,典型的Gauss公式 一次； 二次； 三次。 Gauss-legendre求积公式的节点和系数,定理：高斯求积公式的求积系数全是正的,32,33,推论 高斯求积公式是稳定的.,定理7 设 则高斯求积公式收敛,34,高次的高斯公式不便于应用，一般可借鉴复合求积方法。,35,3.7 多重积分,二重积分,对于矩形区域,若用复合辛普森公式，可分别将a,b、c,d 分为N、M等份， 步长,36,得,例题 P127例14、例15。,37,38,对于非矩形区域的二重积分，只要化为累次积分，可 也类似矩形域情形求得其近似值，如二重积分,用辛普森公式可转化为,其中 .然后再对每个积分使用辛普森公 式，则可求得积分I的近似值.,39,Exercises P135，习题的10、11、16题。,40,谢谢！,
