《2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1.2空间几何体的三视图和直视图 1.2.3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：1.2空间几何体的三视图和直视图 1.2.3 （13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图 学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图 知识点 斜二测画法 思考 1 边长 2 cm 的正方形 ABCD 水平放置的直观图如下，在直观图中，AB与 CD有何关系？AD与 BC呢？在原图与直观图中，AB 与 AB相等吗？AD 与 AD呢？ 答案 ABCD，ADBC，ABAB，AD AD. 1 2 思考 2 正方体 ABCDA1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？ 答案 没有都画成正方形 梳理 (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则 (2)立体图形直观图的画法规则
2、画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面 xOy垂直的轴 Oz，且平行 于 Oz的线段长度不变，其他同平面图形的画法 类型一 平面图形的直观图 例 1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图 解 (1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直线为 x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在 直线为 y 轴建立平面直角坐标系画出相应的 x轴和 y轴，使xOy45，如图 (1)(2)所示 (2)在 x轴上截取 OBOB，在 y轴上截取 OD OD，过点 D作 x轴的平行 1 2 线 l，在 l 上沿 x轴正方向取点 C使得 DCDC.连接 BC，如图(2) (3)所得四边形 OBCD就是
3、直角梯形 OBCD 的直观图，如图(3) 引申探究 例 1 中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？ 解 画法：(1)如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点 O 为原点，建立直角坐标系，画 对应的坐标系 xOy，使xOy45. (2)以 O为中点在 x轴上取 ABAB，在 y 轴上取 OE OE，以 E为中点画出 1 2 CDx轴，并使 CDCD. (3)连接 BC，DA，所得的四边形 ABCD就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的 直观图 反思与感悟 (1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便 (2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一
4、，一般要使平 面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点原图中不平行于坐标轴的线段可以通 过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平 面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可 跟踪训练 1 用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图 解 (1)如图所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高线 AO 所在的直线为 y 轴 建立平面直角坐标系 (2)画出对应的 x轴、y轴，使xOy45. 在 x轴上截取 OBOC2 cm，在 y轴上截取 OA OA，连接 1 2 AB，AC，则三角形 ABC即为正三角形 A
5、BC 的直观图，如图所示 类型二 直观图的还原与计算 命题角度1 由直观图还原平面图形 例 2 如图所示，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图 形 解 画出直角坐标系 xOy，在 x 轴的正方向上取 OAOA，即 CACA； 过 B作 BDy轴，交 x轴于点 D，在 OA 上取 ODOD，过 D 作 DBy 轴，且使 DB2DB； 连接 AB，BC，得ABC. 则ABC 即为ABC对应的平面图形，如图所示 反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键：(1)平行 x轴的线段长度不变，平行 y轴的 线段扩大为原来的 2 倍；(2)对于相邻两边不与 x、y轴平行的顶点可通过作 x轴
6、，y 轴平行线变换确定其在 xOy 中的位置 跟踪训练 2 如图所示，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6 cm，CD2 cm，则原图形是_ 答案 菱形 解析 如图所示，在原图形 OABC 中，应有 OD2OD224(cm)， 22 CDCD2(cm)，OC6(cm)，OAOC，故四边形 OD2CD24 2222 OABC 是菱形 命题角度2 原图形与直观图的面积的计算 例 3 如图所示，梯形 A1B1C1D1是一平面图形 ABCD 的直观图若 A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1 C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形的形状， 2 3 并求出原图形的面积 解
7、 如图，建立直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 OD OD11，OCOC12. 在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA2D1A12. 在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 ABA1B12. 连接 BC，即得到了原图形 由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为 AB2，CD3，直角腰的 长度 AD2， 所以面积为 S25. 23 2 反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中 的高，在直观图中变为与水平直线成 45角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形 相应的高 (2)若一个平面多边形的面积为 S，它的直观图面积为 S，则
8、 SS. 2 4 跟踪训练 3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 ABO，若 OB1，那么原三角形 ABO 的面积是( ) A. B. 1 2 2 2 C. D2 22 答案 C 解析 直观图中等腰直角三角形直角边长为 1，因此面积为 ，又直观图与原平面图形面积 1 2 比为4，所以原图形的面积为，故选 C. 22 类型三 空间几何体的直观图 例 4 用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图(尺寸自 定) 解 如图所示 画轴画出 x 轴，y 轴，z 轴，使 xOy45，xOz90. 画底面画出正六边形的直观图 ABCDEF. 画侧棱过 A
9、，B，C，D，E，F 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 长度相等的线段 AA，BB，CC，DD，EE，FF. 连线成图顺次连接 A，B，C，D，E，F，并加以整理，就得到底面为正 六边形，侧面为矩形的正六棱柱 反思与感悟 简单几何体直观图的画法 (1)画轴：通常以高所在直线为 z 轴建系 (2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面 (3)确定顶点：利用与 z 轴平行或在 z 轴上的线段确定有关顶点 (4)连线成图 跟踪训练 4 用斜二测画法画出六棱锥 PABCDEF 的直观图，其中底面 ABCDEF 为正六 边形，点 P 在底面上的投影是正六边形的中心 O.(尺寸自定)
10、 解 画法： (1)画出六棱锥 PABCDEF 的底面在正六边形 ABCDEF 中，取 AD 所在的直线为 x 轴， 对称轴 MN 所在的直线为 y 轴，两轴相交于点 O，如图(1)，画出相应的 x轴、y轴、z 轴，三轴相交于 O，使xOy45，xOz90，如图(2)；在图(2)中， 以 O为中点，在 x轴上取 ADAD，在 y轴上取 MN MN，以点 N为中点， 1 2 画出 BC平行于 x轴，并且等于 BC，再以 M为中点，画出 EF平行于 x轴，并 且等于 EF；连接 AB，CD，DE，FA得到正六边形 ABCDEF 水平放置 的直观图 ABCDEF. (2)画出正六棱锥 PABCDEF
11、 的顶点，在 z轴正半轴上截取点 P，点 P异于点 O. (3)成图连接 PA，PB，PC，PD，PE，PF，并擦去 x轴、 y轴和 z轴，便可得到六棱锥 PABCDEF 的直观图 PABCDEF，如图 (3) 1利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图，正确的是图中的( ) 答案 C 解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为 21. 2如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( ) 答案 C 解析 在 x 轴上或与 x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在 y 轴上或平行于 y 轴的线 段在新坐标系中的长度变为原来的 ，并注意到xOy90，xO
12、y45，因此由直 1 2 观图还原成原图形为选项 C. 3若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的( ) A.倍 B2 倍 C.倍 D.倍 2 4 2 22 答案 A 4如图，水平放置的ABC 的斜二测直观图是图中的ABC，已知 AC6，BC4，则 AB 边的实际长度是_ 答案 10 解析 在原图中，AC6，BC428，AOB90， AB10. 6282 5画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为 1 cm,2 cm，高为 2 cm) 解 (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图ABC，其中 O 为ABC 的重心，BC2 cm，线段 AO 与 x 轴的夹角为
13、 45，AO2OD. (2)过 O 作 z 轴，使xOz90，在 z 轴上截取 OO2 cm，作上底面等边三角形的直观图 ABC，其中 BC1 cm，连接 AA，BB，CC，得正三棱台的直观图 1画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点确定点的位置，可采用直 角坐标系建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽 量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上 2用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜” 、 “二测”两点： (1)一斜：平面图形中互相垂直的 Ox、Oy 轴，在直观图中画成 Ox、Oy轴，使 xOy45或 135. (2)二测：在直观图中平行于 x
14、轴的长度不变，平行于 y 轴的长度取一半，记为“横不变， 纵折半” 课时作业课时作业 一、选择题 1在用斜二测画法画水平放置的ABC 时，若A 的两边分别平行于 x 轴、y 轴，则在直 观图中A等于( ) A45 B135 C90 D45或 135 答案 D 解析 因为A 的两边分别平行于 x 轴、y 轴，故A90，在直观图中，按斜二测画法规 则知xOy45或 135，即A45或 135，故选 D. 2下面每个选项的 2 个边长为 1 的正ABC 的直观图不是全等三角形的一组是( ) 答案 C 解析 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论 3如图所示，ABC是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中 OCOA2OB，则以下说法正确的是( ) AABC 是钝角三角形 BABC 是等腰三角形，但不是直角三角形 CABC 是等腰直角三角形 DABC 是等边三角形 答案 C 4关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是( ) A等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B正方形的直观图为平行四边形 C梯形的直观图不是梯形 D正三角形的直观图一定为等腰三角形 答案 B 解析 由直观图的性质知 B 正确 5下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是( ) 答案 A 解析 由题意应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图
