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1、2014-2015学年江苏省无锡市高二(下)期末数学试卷(理科)一、填空题:本大题共14小题,每题5分,共70分。请将答案填在答题卡对应的横线上。1(5分)已知复数满足(其中为虚数单位),则的实部为 2(5分)计算 3(5分)设数列的前项和为,满足,则由归纳推理可得数列的通项公式 4(5分)若的展开式中各项二项式系数的和是128,则 5(5分)2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有 6(5分)房间里有4盏电灯,分别由4个开关控制,至少开1盏灯用以照明,则不同的照明方式为 种7(5分)已知加工某一零件共需两道工序,第1,2道工序的不合格品率分
2、别为和,且各道工序互不影响,则加工出来的零件是不合格品的概率为 8(5分)已知复数满足,则复数的模为 9(5分)从0,1,2,3,4,5这六个数中任取四个数组成一个四位数,其中是5的倍数的四位数个数有 个10(5分)若,则 11(5分)的展开式中系数最大的项等于 12(5分)某城市小汽车的普及率为,即平均10个家庭有小汽车,若从这个城市中任意选出5个家庭,则2个以上(含2个)的家庭有小汽车的概率为 13(5分)号码为1,2,3的三个球放在一个缸子中,将一个球从缸子中取出,把它的号码记下来,然后再将它放回到缸子里,这个过程重复三次,每个球在每次过程中被取出的机会是等可能的,如果记录的数码之和为6
3、,那么其中号码为2的球三次全被取出的概率为 14(5分)将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号,2,8则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种二、解答题:本大题共6小题,共计90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15(14分)已知矩阵,若点在矩阵对应的变换作用下得到点(1)求实数,的值;(2)求矩阵的特征值16(14分)从极点作一直线与直线交于点,在上取一点,使(1)以为坐标原点,极轴为轴的正半轴,求点轨迹的直角坐标方程;(2)设为上的任意一点,试求的最小值17(14分)一名工人要看管三台机床,在一个小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.
4、9,对于第二台是0.8,对于第三台是0.85(1)求第一台机床在半天小时)工作时间内,恰好有3小时不要照顾的概率;(2)求在一小时内不需要工人照顾的机床的台数的数学期望18(16分)求证:(1)当时,;(2)1,3不可能是一个等差数列中的三项19(16分)已知,(1)当时,求和;(2)是否存在正整数和,使得,的比值恰好是,若存在,求出和,若不存在,请说明理由20(16分)将1到的个正整数按下面的方法排成一个排列,要求:除左边的第一个数外,每个数都与它左边(未必相邻)的某个数相差1,将此种排列称为“排列”比如“2排列”为时,有1,2;和2,1;共2种排列“3排列”为当时,有1,2,3;2,1,3
5、;2,3,1;3,2,1;共4种排列(1)请写出“4排列”的排列数;(2)问所有“排列”的结尾数只能是什么数?请加以证明;(3)证明:“排列”共有个2014-2015学年江苏省无锡市高二(下)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每题5分,共70分。请将答案填在答题卡对应的横线上。【解答】解:复数满足,的实部为:0故答案为:0【解答】解:根据题意,得,解得;又,;故答案为:28【解答】解:由,得:,解得:,由此猜测故答案为:【解答】解:的展开式中各项二项式系数的和是128,解得故答案为:7【解答】解:从2位医生中选一人,从4位护士中选2人,分到第一所学校,有种方法
6、,剩下的一位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校,只有一种方法,再根据分步计数原理得不同的分配方法共有 种故答案为:12种【解答】解:根据题意,房间里有4盏电灯,每盏灯都可以“开”或“关”,即有2种情况,则房间的4盏电灯,共有种情况,4盏灯都选“关”有1种情况,而又要求至少开1盏灯用以照明,即至少有一盏灯选择“开”,则有种情况,即不同的照明方式为15种;故答案为:15【解答】解:由题意可得第1,2道工序的合格品率分别为和,加工出来的零件是合格品的概率为,加工出来的零件是不合格品的概率故答案为:0.069【解答】解:,且,解得,故答案为:【解答】解:根据题意,要求四位数5的倍数,则该四位数的末
7、位数字必须是0或5,分2种情况讨论:、若末位数字为0,在1、2、3、4、5种任取3个,放在前3个位置,有种情况,即有60个是5的倍数的四位数;、若末位数字为不0(末位数字为,则首位数字不能为0,可以在1、2、3、4种任取1个,有4种情况,在剩余的4个数字中任取2个,安排在中间的位置,有种情况,则此时一共有种情况,即有48个是5的倍数的四位数;综合可得:一共有个是5的倍数的四位数;故答案为:108【解答】解:在中令可得,令可得,故答案为:16【解答】解:设项系数最大,则有,又,系数最大项为故答案为:【解答】解:设抽取的家庭中有小汽车的事件为,则(A),则所求概率满足二项分布,故(1),故答案为:
8、0.66304【解答】解:根据题意,从袋中依次有放回的取三次球,记录的数码之和为6,共有,2,3,3,1,2,1,2,那么其中号码为2的球三次全被取出,只有,2,一种情况,故其中号码为2的球三次全被取出的概率为:故答案为:【解答】解:由题意,全部的排列办法有:种下面计算相等的:黑色在,四组中任选两组有种,另外,黑色可在,5,2,4,6,中任选1组,共2种因此红黑相等的有两种,剩下的有:种,剩下的是编号和黑大于红或黑小于红,由于两者的对称性,因此,红球的编号之和小于黑球编号之和的排法共有31种故答案为:31二、解答题:本大题共6小题,共计90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【解答】解
9、:(1)由题意可知:,即,解得:,(2)由(1)可知:,特征多项式,令,解得:或,特征值,当时,齐次线性方程组,解得:,令,其基础解系为,属于的全部特征向量为:,当时,齐次线性方程组,即,解得:,令,其基础解系为,属于的全部特征向量为:【解答】解:(1)设动点的坐标为,的坐标为,即为所求的轨迹方程,点轨迹的直角坐标方程是;(2)由(1)知,点轨迹是以为圆心,以1为半径的圆,直线在平面直角坐标系中对应的方程为,圆心到直线的距离,直线与圆相离,则的最小值是【解答】解:(1)三台机床都能正常工作的不要照顾的概率为第一台机床在半天小时)工作时间内,恰好有3小时不要照顾的概率(2),1,2,3台设备都需
10、要维护的概率三台设备都需要维护的概率为,恰有一台设备需要维护的概率,可得,所以台【解答】证明:(1),且,(7分)(2)假设1,3是同一个等差数列中的三项,分别设为,则为无理数,又为有理数,矛盾假设不成立,即1,3不可能是同一个等差数列中的三项(14分)【解答】解:(1)当时,则是的系数,是的系数,则,(2)是的系数,是的系数,是的系数,则,若存在正整数和,使得,的比值恰好是,则,且,由得,即,即,由,得,即,联立得,都不是正整数,的比值恰好是,不成立,即不存在正整数和,使得,的比值恰好是【解答】解:(1)时,有1,2,3,4; 2,1,3,4; 2,3,1,4; 2,3,4,1;3,2,1,
11、4; 3,2,4,1; 3,4,2,1; 4,3,2,1共8个排列;(2)由题意猜想所有的排列均以1或结尾,证明:由(1)已证当,3,4时满足猜想,假设当时,所有排列,满足题意,则当时:若排列,最后一个数是1,则排列总符合题意,若排列,最后1个数为,则考虑这个数,只能排在最后一位,否则在它前面没有一个数与相差1,故排列的结尾不是1就是(3)对,3,4结论均以成立,假设当时,排列共,则时,若排列结尾是,则只能排在最后一位,共个,若排列尾数是1,则作这样一个对应:,1,这样恰好得到一个结尾为1的一个排列,所以也有,所以共有个,即排列共有个声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2019/4/12 14:29:03;用户:钟老师;邮箱:;学号:26214851第11页(共11页)