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1、1 可爱的自由度原子 Bose-Einstein 凝聚中的Feshbach 共振张 永 德中国科学技术大学合肥微尺度物质科学国家实验室量子信息部二零一零年五月2目 录序 言一，低能共振散射与原子 Bose-Einstein 凝聚I，低能势散射II，低能势散射中的共振现象III，全同雾状原子的 Bose-Einstein 凝聚a，凝聚温度的估算之一， b，凝聚温度的估算之二二，超冷全同原子凝聚体 Feshbach 共振（I）I，低能 Feshbach 共振理论II，Feshbach 共振宽度III，Feshbach 共振的散射矩阵IV，磁可控，超精细诱导 Feshbach 共振三，原子凝聚体 F
2、eshbach 共振的多体效应（II）V，全同原子多体系统中的 Feshbach 共振相互作用VI，凝聚体混合动力学VII，粒子损失效应VIII，关于分子凝聚体形成的结论与注记四，原子凝聚体 Feshbach 共振的静力学（III）五，附录超精细 Zeeman 分裂与内态之间的散射I， 碱金属的基态电子构形与超精细分裂II， 原子例子及双态模型计算LiIII，不同内态之间的散射3序 言这篇讲义主要依据脚注 1 几篇文献，讲解 Bose-Einstein 凝聚系统多体行为的 Feshbach 共振现象。因时间仓促和作者知识所限，只限于基本理论推导和主要物理解释，不涉及相关问题的历史及应用。按照定
3、义，Feshbach 共振涉及两体准束缚的中间态，所以又称作闭道碰撞。这些中间态并不像字面那样被束缚住，由于和（比如，入射弹丸-靶系统的）其它道连续态相互作用，这些中间态只能生存有限寿命，所以称作准束缚态。比如，在电子-原子和电子-离子散射中，中间态会发射所俘获的电子而衰变掉。这些态被称作自动电离态。现在感兴趣的原子-原子散射的 Feshbach 共振中，中间态是带有电子和核自旋（精细相互作用重排了两个碰撞原子的自旋）的分子。入射道连续态是单道原子-原子散射问题的散射态，而中间分子态将与入射道连续态相互作用。稀薄超冷原子 Bose-Einstein 凝聚的性质对散射长度数值极为敏感，尤其是在
4、Feshbach 共振情况下。此外，更重要的是，这种冷原子系统粒子间有效相互作用强度可以通过外磁场灵敏地调控。在多体研究中，这种可以灵敏调控的自由度是可爱的。所以超冷原子1 E.Timmermans et al., Feshbach resonances in atomic Bose-Einstein condensates, Physics Reports, 315(1999)199-230。 Immanuel Bloch et al.， Many-body physics with ultracold gases，Rev. Mod. Phys.，80(2008)885-964 。 R.A.
5、Duinwe, et al., Atommolecule coherence in Bose Gases, Physics Reports, 396(2004)115-195。 S. Giorgini, et al., Theory of ultracold atomic Fermi gases，Rev. Mod. Phys.， 80(2008)1215-1274。4Feshbach 共振极端重要，在多体研究中成为有高度兴趣的课题，是很有前途的实验手段。一，低能共振散射与原子 Bose-Einstein 凝聚I， 低能势散射（此节公式编号与与脚注 14 文献相同）两个不可区分的玻色性原子碰撞。
6、设原子间相互作用 ，分Vr波法展开 0222,cos,10lklklklkl klrPRrrRdMV 轨道角动量产生一个势垒，高度 ， 为原子间相互作用的2lL力程， 是单个原子质量。就是说，在力程范围内随量子数 增加Ml而增加。所以此势垒的物理作用，就定态而言是离心作用，使原点成为零点（详细情况及塌缩讨论见脚注 3 文献附录 C） ；就散射而言是阻止原子间碰撞，尤其阻止原子之间的各向异性散射。低能散射下，平动能量很低，碰撞粒子能量不足以克服轨道角动量造成的离心势垒，各向异性的高阶分波散射全部消失，只剩下各向同性的分波散射。设 ，此势垒为 。于是在温度低于s10BLa10mK的冷原子样品中，玻
7、色性原子经受纯 波散射。作为对照，1mKsBose-Einstein 凝聚温度的量级为 。下面只求解径向 波的渐近波函数：s000inexpexp2krNurkirikrir 5（1）为 分波相移。出射态的波函数（ 为散射振幅）为0s f(2),expexkrkizikr (3)002112fis这里 。在波函数 分波展开中， 分波成份为 2 ：00exp2si,krs(4)0,expk Nsriur 下面考虑的是入射和出射球面波的叠加，由（1）式可得(6)00exe2p,Nririkrku在原子阱凝聚体中，两个一价碱金属原子通过相互作用（可称作分子势）结成束缚态。于是，按照 Levinson
8、 定理 3， 在原子Nur间相互作用区域内存在节点，节点个数等于相应位势中束缚态数目。进一步，超冷碰撞能量的渐近解 基本上与能量无关：这时 de NurBroglie 波长 大大超过原子间相互作用区域尺度 。于是，当核2k L间距离 处于 区域内时， ， 为散射长度（r1Lrra） ，渐近解和碰撞能量无关，只由单参数 决定：0a(7) 1001,NurkrkrLrk 这里，对吸引力， ， 是负的；对排斥力， ， 是正的。a0aII， 低能势散射中的共振现象在整个散射实验范围里，最显著的现象大概就是共振散射了。它最简单的形式就是（作为能量函数的）总截面出现尖锐峰。在原2 下面(4)式见张永德，
9、量子力学 ，p.272。即为该书 渐进展开式中第一项（,r） 。0l3 张永德， 高等量子力学 ，下册，p.488。6子物理、核物理、粒子物理中都可以观察到这种共振散射现象。对这种现象有许多不同的理论研究。它们全都认为，在入射粒子某些能量 处，入射粒子-靶粒子系统可以构成准束缚态。入射粒子被kE俘获而处于这类亚稳状态。这种准束缚态的存在是导致散射总截面突然增大的直接原因。已知： 矩阵在角动量表象矩阵元为（ 为 Jost 函数） 4：Slfk（A ） exp2, likl lllllskikf e 一般结论是，它在复平面 物理叶上半平面 ( 有2()EmIm0正虚部，对应推迟 Green 函数，
10、出射球面波) 的极点对应束缚态；在非物理叶下半平面 ( 有负虚部，对应超前 Green 函数，入I0k射球面波) 的极点可以满意地解释作为共振 5。于是令(B)22rREpmi附带指出此处取复值的物理含义：这时对应准定态波函数时间因子为(C)expexpexp2RiEtitt因此，波函数模平方给出所有的概率都按 规律随时间衰减。特别是，发现入射弹丸留在这个准稳定系统之内的概率是按这个规律随时间衰减的。在靠近共振点处，可将相移分解为背景相移和共振相移两部分4 J.R.Taylor, 散射理论, 科学出版社，1987，p.204 ，p.231 。5 同上，p.271。7（D）, ;argarg;r
11、rllEl l rlbackglresonlresonesonfdfE 低能共振 很小 6，由靠近 的实轴点 矢量 的幅角得 7 backg Rreson：(E), 22sinillresonRE由此，分波截面为(F)22241sinl l RlEk(F)式就是著名的 Breit-Wigner 公式。对于低能散射，共振区内粒子de Broglie 波波长远大于散射系统尺寸，只有 分波（ ）散射是s0l重要的。由（D-F）式得到一个简单的总结性结论：从本质上说，共振不是由于极点附近振幅数值大，而是由 相位的迅速变化所引起。lsk共振散射中的时间滞后问题。对于吸引势，出射分波位相被拉向散射中心，
12、。但它们随入射能量增加而减少。于是，对 散0 s射分波，其滞后时间的量级为(G)01resondavk与此同时，设靶尺寸为 ，势散射的时间延迟是 。于是，b 0potenbv准束缚态导致共振散射时，应当有6 同上，p.281。7 同上，p.273，277，p.272-276。8(H)resonpteIII，全同雾状原子 Bose-Einstein 凝聚i，凝聚温度的估算之一 8定义：转变温度（又称凝聚温度） 为开始出现 Bose-EinsteinCT凝聚体的最高温度。它的量级可如下估计：对于自由粒子的均匀气体，相关物理量只有三个：粒子质量 ，密度 和 Planck 常数m。由 构造出能量的唯一
13、方式是 。于是，除以2h,m23Boltzmann 常数 ，就得到凝聚温度的量级为k23CTmk为常系数，近似为 （脚标 8 文献，p.22） 。例如，对于适当密度C3.的饱和蒸气压下的液 ，由此公式估出的转变温度为 。4He 3.1Kii， 凝聚温度的估算之二a，物理概念。其实，气体这种从近独立自由分散状态向凝聚状态的变化是一种相变。其物理根源是：粒子热运动的动量随温度降低而减少，相应的 de Broglie 波波长增大。加之，不确定性关系表明，空间分布的不确定性也增大。于是粒子波动性将逐渐增大，相邻粒子间波函数的相干叠加逐渐增强。正是它们，形成着和改变着“空间相干性”，或者说，产生了粒子间
14、的“量子纠缠”和改变着“纠缠模式”。这就是导致物态的各种相变的基本原因，空间相干性质不同（如何短程相干或怎样长程相干）对应的相态将会不同。换一种语言表达这个思想。注意到，Fermi 气体有几个特征长8 C.J.Pethick,et al., B-E Condensation in Dilute Gases, Cambridge Univ. Press, 2002, p.4。9度：Fermi 波数 、气体中自由程 、热 de Broglie 波波长 、粒子Fkl T间相互作用力程 、低能散射散射长度 。考虑到气体相变是由于空La间相干性出现的观点，于是相变将和这几个特征长度的关系有关。比如，考虑
15、到全同 Fermion 气体的 Fermi 波数 、 ，13Fkl1T再注意到，由低能散射的 Ramsauer 效应，散射过程完全由单一参数，即散射长度 所表征（见上下文） 。于是当 ，即散射长度a 1Fa变得大于粒子间的间距，并依次大大于原子间相互作用力程 时，L也就是，相互作用很强但力程很短的稀薄超冷气体，将会出现这种与相互作用势的细节无关，而只与原子 de Broglie 波波动性有关的、带有一定普适形式的相变。实验和理论都表明，这种气体是足够稳定的 9。b， 热 de Broglie 波长 与转变温度 的计算。TCT设体积 中含 个全同粒子， ， 为化学势。有VN2Epm333234,dEdpdppmdhhh 代入 Bose-Einstein 分布，并作积分。有下面等式， 3230 011exEkT EkTdNVdmhe 这里已经取能量零点为单粒子最低能级。积分只对处于激发态的原子进行，也即，下限处排除处于基态原子数 。化学势 不可0exN能为
