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1、第一部分 基本内容复习,各种 类型 的 不定 式的 极限,函数 的 极值 和 最值,边际与弹性 的概念,函数的 单调性,洛必达 法则,基本定理、概念、方法关系图：,中值 定理,第一部分 基本内容复习,1.基本定理,定理3.1,如果函数 满足下列条件：, 在开区间 内可导；, 在闭区间 上连续；, ；,(2) 拉格朗日中值定理,第一部分 基本内容复习,1.基本定理,定理3.2,如果函数 满足下列条件：,（2）在开区间 内可导；,（1）在闭区间 上连续；,则在区间 内至少存在一点 , 使得,(3) 综合举例,第一部分 基本内容复习,1.基本定理,函数 在闭区间1,e上是否满足拉格朗日中值定理？如果
2、满足，找出使定理结论成立的 的值。,解：因为 是初等函数，所以 在 上连续；,即,第一部分 基本内容复习,2.利用洛必达法则求函数极限,定理 3.4,如果函数 与 满足条件：,（2）在 的某领域内（ 除外）， 都存在，且 ；,（1） , ；,（3） 存在（或为 ）,第一部分 基本内容复习,2.利用洛必达法则求函数极限,求,解：,第一部分 基本内容复习,2.利用洛必达法则求函数极限,求,第一部分 基本内容复习,(1) 基本判定定理,.函数的单调性及极值的计算,定理3.6,设函数 在 内可导：,（2） 如果在 内 ，则函数 在 内单调减少。,（1）如果在 内 ，则函数 在 内单调增加。,第一部分
3、基本内容复习,(1) 基本判定定理,.函数的单调性及极值的计算,定理3.8 （极值的第一充分条件）,设函数 在 的某个领域内可导，且 。, 如果当 时， ；当 时， ,则函数 在 处取得极大值。, 如果当 时， ；当 时， 则函数 在 处取得极小值。, 如果在 的两侧， 具有相同的符号，则函数 在 处不取得极值。,第一部分 基本内容复习,(1) 基本判定定理,.函数的单调性及极值的计算,定理3.9 （极值的第二充分条件）,设函数 在 处具有二阶导数，且 ， ，则, 当 时，函数 在 处取得极大值。, 当 时，函数 在 处取得极小值。,第一部分 基本内容复习,(2) 举例,.函数的单调性及极值的
4、计算,求函数 的单调区间以及在整个 定义域内的极值点。,解：函数的定义域为,x,f(-1)=-1,f(3)=7,第一部分 基本内容复习,(2) 举例,.函数的单调性及极值的计算,又上表可知函数的单调增区间为：,单调减区间为：,是函数f（x）的极大值点，,是函数f（x）的极小值点。,第一部分 基本内容复习,(1) 定义,4.函数的最值,最值的定义,如果函数f（x）在其定义域a，b上的函数值满足 其中 则称 为函数的最小值， 为函数的最大值。,第一部分 基本内容复习,(2) 综合举例,4.函数的最值,某商品在销售单价为（p元)时，每天的需求量 某工厂每天生产该商品q单位的成本函数是 （元）。若该工
5、厂有权自定价格，问该工厂每天产量为多少时，可使利润最大？这时价格为多少？,，此时价格p=44,第一部分 基本内容复习,(1) 定义,5.边际与弹性,边际成本：,边际收益：,边际利润：,第一部分 基本内容复习,(1) 定义,5.边际与弹性,需求弹性：,供给弹性：,收益弹性：,第一部分 基本内容复习,(2) 综合举例,5.边际与弹性,设某产品的总成本函数和收益函数分别为 ，其中q为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收益和边际利润。,解：边际成本为：,边际收益为：,边际利润为：,第一部分 基本内容复习,(2) 综合举例,5.边际与弹性,求函数 的弹性函数。,解：因为,所以弹性函数为：,第一部分
6、 基本内容复习,(2) 综合举例,5.边际与弹性,设某商品的需求函数为 ， （1）求需求弹性及p=50 时的需求弹性值。 （2）在p=50时，价格上涨1%，总收益如何变化。,解：需求弹性：,当p=50时的需求弹性值：,又因为：,即，在p=50时，价格上涨1%，总收益将增加0.5%.,第二部分 课堂训练,第二部分 课堂训练,3某产品的需求函数和总成本函数分别为 求边际利润函数，并计算q=150和q=400时 的边际利润。,答案：,第二部分 课堂训练,4某商品的需求函数为 ，求： （1）p=5时边际需求、需求弹性，并说明它们的经济意义； （2）p=5时，若价格上涨1，总收益将变化百分之几？ （3）p为多少时，总收益最大？最大总收益为多少？,
